2022年高等代数课程试卷及参考答案.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题(一)一、运算( 20 分)1)13512)xaaxaaxaa5272aa2141a3463二、证明:(20 分)1)如向量组1n线性无关,就它们的部分向量组也线性无关;1n中部分向量线性相关,就向量组1n必线性相关2)如向量组三、(15 分)已知 A 为 n 阶方阵 A为 A 的相伴阵,就 |A|=0, A的秩为 1 或 0;四、(10 分)设 A 为 n 阶阵,求证, rank(A+I )+rank(A-I) n 五、(15 分)求基础解系x 1x2x33x444000x 1x2x33 xx 1x
2、22x3x六、(10 分)不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、(10 分)求证 ABC 的正弦正定理名师归纳总结 aAbBcC第 1 页,共 18 页sinsinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 一 一、1)-126 2)xn2 ax2 a n1二、证明:1)11n线性无关,1r是其部分向量组,如存在不全为00 的数k1rk使k 11rkr0就取kr1k r2kn0,就k 11rkrr10n0,就可知n线性相关冲突,所以1r必线性无关;k1rk不全为 0,使2)已知1r是向量组中1n中的部分向量,且线性相关即k 11rkr0, 取k r
3、1kn0, 于 是 有 不 全 为0的k 1rk00, 使k 11rkr0r10n0即1n线性相关;三、证明:|A|A A |A|A|I|A|由于|A|=0 ,A 的秩 n-1 1)如 A 的秩为 n-1,就 A 中的各元素为 A 的全部 n-1 阶子式,必有一个子式不为 0,又由于 A的各列都是 AX=0 齐次线性方程组的解,其基础解系为 n-(n-1)= 1,由此 A的秩为 1;2)如 A 的秩 n-1,就 A 中的全部 A 的n-1 阶子式全为 0,即A =0, A 的秩为 0;四、证明:对任意 n 级方阵 A 与 B,有rank(A+B)rank(A)+ rank (B)又 rank(
4、AI)=rank( AI)=rank(IA)rank(A+I)+(IA)=rank( 2I) = rank(I)=n rank(A+I )+rank(IA)=rank(A+I )+rank( AI)五、名师归纳总结 A11111101取x 21,0基础解系第 2 页,共 18 页11130012x 401111230000112100201- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六、证明:设e 1e 2e n是正交向量组,且不含空向量;如有就k 1e 1k2e 2knkne n,e0ni1nne线性无关 k 1e 2e n,e i且kk i e i0k 1e
5、 2ne n,ee i e ie i0ki,0i1即e1七、证明:如图:|abacaacsinB A B cabC bcca cacab|absinC|ac|bcsinBCac|bc|bcsinAbcsinAabsinabcCsinAsinBsin代数与解析几何试题(二)一、运算:(20 分)1b 1000n-1 个向量100211b 1b 2001)30042)011b 200541312340001b n1b n00011b n二、(20 分)如一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余的线性组合;名师归纳总结 三、(10 分)如 S1与 S2 是线性空间 V(F)的不同真子空
6、间,求证至少存在一个向量,第 3 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使Sii,12四、(10 分)求基础解系3x1x226x 334x 442x502x 12x3x5x3x50x 15x 26x 38x46x 50五、(15 分)证明:含有 n 个未知数的 n+1 方程的方程组a11x 1a12x 2a 1nxnb 12a21x 1a22x2a2nxnb有解的必要条件是行列式名师归纳总结 an 1x 1an2x2a nnxnbn0 ,V 的维数为 n-1;an11x 1an12x 2an1 nxnb n1a 11a 1nb 1a21a2
7、nb 20但这一条件不充分,试举一反例;an 1annb nan11annnbn1六、(15 分)设 V 是 n 维欧氏空间V,0,求|七、(10 分)设 ABC 的三条中线的交点为O,求证:OAOBOC0第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 二 一、1)-60 2)1 k 11knn0设 ki 不等 0,于是二、证明:如相关, Nwh 不全为 0 的数k1kn使kiik 11k i1i1k i1i1ik 11k i11kii1ikiik2,就S 1,S 2否就S 1如有一个向量表示其余之向量n-1 个向量的组合1k 11ki
8、i1ki1i1k nn有k 11kii1iki1i1knn三、证明:设1S 1,1S 2,2S 2,2S 1,就1有21S 冲突,如S 有1S 2S 2冲突;四、解:A3,1,064211,09,3114 34 74 52235301444x3156860000093104 34 74 5x40104 124 034 0x 5001010001五、解:如有解:就把系数阵各列看作列向量有:名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1 b 11n, 即1n线性相关,于是有D=0,反之不成立000ie ,x nbn12xy1
9、2112xy2有2120但无解;2xy2212六、证明:非空间且1,22有(k 11k22)k1k22是子空间;把扩充为V 的一组基12n,把这组基正交化,1e 1,e 2e n有eii2n,即的维数为n-1 七、证明:如图A 已知 O 是 ABC 三条中线的交点,由向量加法有E AD1ABACF O C 2BF1BABCB D 2CF1CACB2又OA2AD,OB2BE,OC2CFAC333OAOBOC2ADBECF3又APBECF1ABACBABCCACB10022OAOBOC0代数与解析几何试题(三)一、运算:(20 分)名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 1)12342)011110xx23411x0x341241231xx0二、(10 分)如一个不含零向量的向量组成线性相关,就至少有两个向量是其余向量的线性组合;三、(20 分)如S 1S 2S m是线性空间V(F)的真子空间,求证到存在一个向量,使iSi i1m 四、(15 分)求证: 1)A 2=A,求证: P=2AI 为对合阵2)A 为 2n+1 阶方阵,且 A=A,求证 |A|=0 五、(10 分)求基础解系x 1x2x 2x32x42040x 1x2x3x402x 12x3x六、(10 分)如 A 为 n 阶方阵,如对任意的一列矩阵X,
11、均有 AX=0,求证 A 为零阵七、(15 分)设e1e n是 n 维欧氏空间 V 的标准正交基,1k是 V 中 k 个向量,如1k两两正交,就必有 ns1ie sje s0i,j1k,ij答案 三 名师归纳总结 一、 1)160 2)1n1n1xn21bk nn,第 7 页,共 18 页二、证明:1n线性相关, 且不含 0 向量,就有一组不全为0 的数k1kn使k 1由于至少有一个ik0有kiik 11k nnik 11kn如其余的nk 2ki一 个 系 数kj全 为0 , 就i矛 盾 , 故 必 有 至 少 有 一 个k j,0ij于 是ki- - - - - - -精选学习资料 - -
12、- - - - - - - jk 11knn即至少有两个向量是其余向量的线性结合;kjkj三、证明:用归纳法,当 n 2 命题成立(由习题 4)解设为:n k 的命题,当 n k 1 时,由归纳假定存在 Si i 1 k 如 S k 1 就命题成立;如 S k 1,就由 S k 1 为真子空间, 有 S k 1,此时有 k,使 k r S,否就 k r S k 1,就 k S k 1 同时,对不同的 k 1,k 2 不含有 1k 与 k 2 同属于一个 Si i 1 k 反之,如 k 1 S i , k 2 S i 有 k 1 k 2 iS 中 的 所 有 ki i 1 k , 于 是 这 样
13、 的 k , 有k S i i 1 k 12A A四、证明: 1)P 2 2 A I 2 A I 4 A 2 4 A I I P 为对合阵2)A 为 2n+1 阶方阵,且 A A有 A A 1 2 n 1A A又 A A 即 A A , A 0五、解:名师归纳总结 A11111011令x 31,0有1Xnk0第 8 页,共 18 页1111010x 401222200001010,21100110六、证明:A 对任意一列矩阵X 均有AX=0 ,取X10,X21于是,000A X1,X2XnAI0,就 A=0 两两正交,七、设e1e n是 n维欧氏空间V 的标准正交基1k是 V 中 k 个向量,
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