数学建模-第二章-初等模型ppt课件.ppt
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1、数学建模数学建模(Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院黑龙江科技学院理学院工程数学教研室工程数学教研室第二章第二章 初等模型初等模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院线性代数模型线性代数模型初等模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型经济问题中的初等模型重点重点:各种简单的初等模型各种简单的初等模型难点难点:简单初等模型的建立和求解简单初等模型的建立和求解生活中的问题生活中的问题 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建模举例建模举例2.1 生活中的问题生活中的问题2.1.1
2、 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗? ?问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化,可视为数学上的连续地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
3、 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离xBADCOD C B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚
4、着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知:已知: f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 , f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0, f(0) 0. 证明:存在证明:存在 0,使,使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转9
5、00,对角线,对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0, f(0) 0 ,知,知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(
6、 ), g( )的确定的确定 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 2.1.2 分蛋糕问题分蛋糕问题妹妹过生日,妈妈做了一块边界形状任意的妹妹过生日,妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕,哥哥也想吃,妹妹指着蛋糕上的一点蛋糕,哥哥也想吃,妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说,你能过这一点切一刀,使得切下对哥哥说,你能过这一点切一刀,使得切下的两块蛋糕面积相等,就把其中的一块送给的两块蛋糕面积相等,就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题,你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题,你知道他用的是什么办法吗?你知道他用的是什么办法吗?问题归结为如下一道证明题:问题归结为如下一道证明
7、题: 已知平面上一条已知平面上一条没有交叉点没有交叉点的的封闭曲线,封闭曲线,P是曲线所围图形上是曲线所围图形上任一点,求证:一定存在一条过任一点,求证:一定存在一条过P的直线,将这图形的面积二等的直线,将这图形的面积二等分。分。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院只证明了直线的存在性,只证明了直线的存在性,你能找到它么?你能找到它么?P?PS1S2l若若S1 S2 不妨设不妨设S1S2(此时此时l与与x轴正向的夹角记为轴正向的夹角记为 ) 0以点以点P为旋转中心,将为旋转中心,将l按逆时按逆时针方向旋转,面积针方向旋转,面积S1,S2就就连连续依赖于续依赖于角角 的变化,记
8、为的变化,记为 21,SS 21SSf令:令:而而 在在 上连续,且上连续,且 f00,010200fSS010200fSS由零点定理得证由零点定理得证。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 2.1.3出租车收费问题出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下:起价某城市出租汽车收费情况如下:起价10元元(4km以内),行以内),行程不足程不足15km,大于等于,大于等于4km部分,每公里车费部分,每公里车费1.6元元;行程;行程大于等于大于等于15km部分,每公里车费部分,每公里车费2.4元元。计程器每。计程器每0.5km记记一次价。一次价。 例如,当行驶路程例如,当行驶路程x
9、(km)满足)满足12x12.5时,按时,按12.5km计价;当计价;当12.5 x13时,按时,按13km计价;计价; 例如,等候时间例如,等候时间t(min)满足满足 2.5t5时,按时,按2.5min计价收费计价收费0.8元;元;当当5t0为比例常数为比例常数)。1.建立细菌繁殖的数学模型。建立细菌繁殖的数学模型。2.假设一种细菌的个数按指数方式增长,下表是收集到的假设一种细菌的个数按指数方式增长,下表是收集到的近似数据。近似数据。天数天数细菌个数细菌个数5936102190 由于细菌的繁殖时连续变化的,由于细菌的繁殖时连续变化的,在很短的时间内数量变化得很小,在很短的时间内数量变化得很
10、小,繁殖速度可近似看做不变。繁殖速度可近似看做不变。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解:建立数学模型建立数学模型将时间间隔将时间间隔t分成分成n等分,在第一段时间等分,在第一段时间 内,细菌繁殖的数内,细菌繁殖的数量为量为 ,在第一段时间末细菌的数量为,在第一段时间末细菌的数量为 ,同样,同样,第二段时间末细菌的数量为第二段时间末细菌的数量为 ;以此类推,最后一段;以此类推,最后一段时间末细菌的数量为时间末细菌的数量为 ,经过时间,经过时间t后,细菌的总数是后,细菌的总数是nt,0ntkA0ntkA 10201ntkAnntkA10ktnneAntkA001limkte
11、Ay0设细菌的总数为设细菌的总数为y,则所求的数学模型为:则所求的数学模型为: 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为128平方分米,上下空白个平方分米,上下空白个2分米,两边空白个分米,两边空白个1分米,如何分米,如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小?确定海报尺寸可使四周空白面积为最小?8128422442xxyxs最小最小令此式对令此式对x的导数为的导数为0,解得:,解得:x=16,此时此时y=8,可使空白面积可使空白面积最小。最小。其中其中0 s这个问题可用求一元函数最
12、值的方法解决这个问题可用求一元函数最值的方法解决x21y 思考思考:若海报改为左右两栏,横:若海报改为左右两栏,横向粘贴,印刷面积为向粘贴,印刷面积为180平方分米,平方分米,要求四周留下空白宽要求四周留下空白宽2分米,留分米,留1分米分米宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总空白面积最小空白面积最小? 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中等水平的工人早上等水平的工人早上8:00开始工作,在开始工作,在t小时之后,生产出小时之后,生产出 Q(t)=-t3+
13、9t2+12t 个晶体管收音机。个晶体管收音机。问:在早上几点钟这个工人的工作效率最高?问:在早上几点钟这个工人的工作效率最高?工人上班效率问题工人上班效率问题工作效率最高,即生产率最大,工作效率最高,即生产率最大,此题中,工人在此题中,工人在t t时刻的生产率时刻的生产率为产量为产量Q Q关于时间关于时间t t的变化率:的变化率:Q(tQ(t) ),则问题转化为求,则问题转化为求Q(tQ(t) )的最大值的最大值解:工人的生产率为解:工人的生产率为 0186 ttQtR 121832tttQtR比较比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知知t=3时,即上午时,即上午11:00,
14、工人的工作效率最高。工人的工作效率最高。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院工人上班效率问题工人上班效率问题黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 日常生活中,人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问日常生活中,人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定,则如果购买其中一种物品较多,那么势必要少买(题。由于钱数固定,则如果购买其中一种物品较多,那么势必要少买(甚至不能再买)另一种物品,这样就不可能很令人满意。如何花费给定甚至不能再买)另一种物品,这样就不可能很令人满意。如何花费给定量的钱,才能达到最满意的效果呢?经济学家试图借助量的钱,才能达到最满意
15、的效果呢?经济学家试图借助“效用函数效用函数”来来解决解决这一问题。所谓效用函数,就是描述人们同时购买两种产品各这一问题。所谓效用函数,就是描述人们同时购买两种产品各 单位、单位、 单位时满意程度的量。常见的形式有单位时满意程度的量。常见的形式有等,而当效用函数达到最大值时,人们购物分配方案最佳。小孙有等,而当效用函数达到最大值时,人们购物分配方案最佳。小孙有200元钱,他决定来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带。且设他购元钱,他决定来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带。且设他购买买 张磁盘,张磁盘, 盒录音磁带的效用函数为盒录音磁带的效用函数为 。设每张。设每张磁盘磁盘8元,每盒磁带
16、元,每盒磁带10元,问他如何分配他的元,问他如何分配他的200元钱,才能达到最满意元钱,才能达到最满意的效果?的效果?xyyxyxUyxyxUlnln),(,),(xyyxyxUlnln),(购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题理学院理学院 一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌子进价每听子进价每听30美分,外地牌子的进价每听美分,外地牌子的进价每听40美分。店主估计,美分。店主估计
17、,如果当地牌子的每听卖如果当地牌子的每听卖x美分,外地牌子卖美分,外地牌子卖y美分,则每天可美分,则每天可卖出卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁,听当地牌子的果汁,80+6x-7y听外地牌子的果听外地牌子的果汁。汁。问:问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?收益?最大利润问题最大利润问题想一想高等数学中二想一想高等数学中二元函数求最值的方法元函数求最值的方法解:解:每天的总收益为二元函数:每天的总收益为二元函数: yxyyxxyxf768040457030,0 xf令令 , ,则有驻点,则有驻点x=53,y=55判断可知判断可知(5
18、3,55)为最大值点。为最大值点。0yf 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院最大利润问题最大利润问题最大利润问题最大利润问题黑龙江科技学院数学建模数学建模医院就医问题医院就医问题 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明,总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗,若果现在有A个病人第一次来就诊,则t个月后,这些病人中还有 个病人还在此治疗 ,这里 。现设这个诊所最开始时接受了300人的治疗,并且计划从现在开始每月接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后,在此诊所接受治疗的病人有多少?)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf
19、)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明,总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗,若果现在有A个病人第一次来就诊,则t个月后,这些病人中还有 )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明,总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗,若果现在有A个病人第一次来就诊,则t个月后,这些病
20、人中还有 个病人还在此治疗 ,这里 。现设这个诊所最开始时接受了300人的治疗,并且计划从现在开始每月接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后,在此诊所接受治疗的病人有多少?)(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf一零售商收到一船共一零售商收到一船共10000公斤大米,这批大米以常量每月公斤大米,这批大米以常量每月2000公斤运走,要用公斤运走,要用5个月个月 时间,如果贮存费是每月每公斤时间,如果贮存费是每月每公斤0.01元,元,5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元?个月之后这位零售商需支付贮存费多少元?商品的贮存费问题商品的贮存费问题将区间将区间0t5分为分为n个等距的
21、小区间,任取第个等距的小区间,任取第j个小区间个小区间【tj,tj+1】,区间长度为】,区间长度为tj+1-tj=t,在这个小区间中,在这个小区间中, 每公斤贮存费用每公斤贮存费用=0.01 t 第第j个小区间的贮存费个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)t 总的贮存费总的贮存费= njjttQ101.0由定积分定义:由定积分定义: 总贮存费总贮存费= 元25020001000001. 001. 01050dttdttQ解解 :令令Q(t)表示表示t个月后贮存大米的公斤数,则个月后贮存大米的公斤数,则 Q(t)=10000-2000t 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院某公路
22、管理处在城市高速公路出口处,记录了几个星期内平某公路管理处在城市高速公路出口处,记录了几个星期内平均车连行驶速度,数据统计表明:一个普通工作日的下午均车连行驶速度,数据统计表明:一个普通工作日的下午1:00至至6:00之间,次口在之间,次口在t时刻的平均车辆行驶速度为:时刻的平均车辆行驶速度为: S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右,试计算下午左右,试计算下午1:00至至6:00内的平均车辆行驶速度?内的平均车辆行驶速度?车辆平均行驶速度问题车辆平均行驶速度问题解解 :平均车辆行驶速度为平均车辆行驶速度为 hkmdttttdtts/5 .784060212161161612
23、361此题是求函数此题是求函数s(ts(t) )在区间在区间【1 1,6 6】内的平均值】内的平均值 一般地,连续函数在区间上一般地,连续函数在区间上的平均值,等于函数在此区的平均值,等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。间上的定积分除以区间长度。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 设产品产量为设产品产量为q,产品价格为产品价格为p,固定成本固定成本c0,可变成,可变成本为本为c1.2.5 经济问题中的初等模型经济问题中的初等模型(1) 总成本函数总成本函数:(2) 供给函数供给函数:(3) 需求函数需求函数:(4) 价格函数价格函数: qccqcc10 pfsQ pg0
24、Q qpQfp01 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 qCqRqL qCCm qRRm mmmCRqCqRL(5) 收益函数收益函数:(6) 利润函数利润函数:(7) 边际成本函数边际成本函数:(8) 边际收益函数:边际收益函数:(9) 边际利润函数:边际利润函数: qqpqRR 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例1 某品牌收音机每台售价某品牌收音机每台售价90元,成本为元,成本为60元,厂家为鼓励元,厂家为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多台以上的,每多订购一台,售价就降低订购一台,售价就降低
25、1分(例如某商行订购分(例如某商行订购300台,订购量台,订购量比比100台多台多200台,于是每台就降价台,于是每台就降价0.01200=2元,商行可元,商行可按每台按每台88元的价格购进元的价格购进300台)。但最低价格为台)。但最低价格为75元元/台。台。(1)建立订购量)建立订购量x与每台的实际售价与每台的实际售价p的数学模型。的数学模型。(2)建立利润)建立利润L与订购量与订购量x的数学模型。的数学模型。(3)当一商行订购了)当一商行订购了1000台时,厂家可获利润多少?台时,厂家可获利润多少?据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型:据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型:
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