初中数学专题 专题20 二次函数综合题(第01期)2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版).docx
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1、专题20 二次函数综合题1(2019河南)如图,抛物线y=ax2+x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C直线y=x2经过点A,C(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m当PCM是直角三角形时,求点P的坐标;作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线l,使点M,B,B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式(k,b可用含m的式子表示)【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2+x2(2)点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).直线l的解析式为y=x2,y=x2或y=x
2、m2【解析】(1)直线y=x2交x轴于点A,交y轴于点C,A(-4,0),C(0,-2).抛物线y=ax2+x+c经过点A,C, 抛物线的解析式为y=x2+x2(2)点P的横坐标为m,点P的坐标为(m,m2+m2).当PCM是直角三角形时,有以下两种情况:(i)当CPM=90时,PCx轴,x2+x2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.当m=-2时,m2+m2=-2.点P的坐标为(-2,-2).(ii)当PCM=90时,过点P作PNy轴于点N,CNP=AOC=90. NCP+ACO=OAC+ACO=90,:NCP=OAC,GNPAOC,C(0,-2),N(0,m2+m2),CN=,PN=m
3、.即,解得a3=0(含去),m4=6.当m=6时,m2+m2=10,点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).当y=0时,x2+x2=0,解得x1=4,x2=2,点B的坐标为(2,0)点C的坐标为(0,2),点B,B关于点C对称,点B的坐标为(2,4)点P的横坐标为m(m0且m2),点M的坐标为(m,m2)利用待定系数法可求出:直线BM的解析式为y=x+,直线BM的解析式为y=x,直线BB的解析式为y=x2分三种情况考虑,如图2所示:当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y=x2;当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y=x2;当直线lBB且过线段CM的
4、中点N(m,m2)时,直线l的解析式为y=xm2综上所述:直线l的解析式为y=x2,y=x2或y=xm2【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)分MPC=90及PCM=90两种情况求出点P的坐标;利用待定系数法及平行线的性质,求出直线l的解析式2(2019河北)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=xb与y轴交于点B;抛物线L:y=x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点
5、为D(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值;(3)设x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离;(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数【答案】(1)b=4,对称轴为x=2,L的对称轴与a的交点为(2,2);(2)点C与l距离的最大值为1;(3)点(x0,0)与点D间的距离为.(4)故b=2019时“美点”的个数为4040个,b=2019.
6、5时“美点”的个数为1010个【解析】(1)当x=0吋,y=xb=b,B(0,b),AB=8,而A(0,b),b(b)=8,b=4L:y=x2+4x,L的对称轴x=2,当x=2时,y=x4=2,L的对称轴与a的交点为(2,2);(2)y=(x)2+,L的顶点C(,),点C在l下方,C与l的距离为b=(b2)2+11,点C与l距离的最大值为1;(3)由題意得,即y1+y2=2y3,得b+x0b=2(x02+bx0),解得x0=0或x0=b但x00,取x0=b,对于L,当y=0时,0=x2+bx,即0=x(xb),解得x1=0,x2=b,b0,右交点D(b,0)点(x0,0)与点D间的距离为b(b
7、)=.(4)当b=2019时,抛物线解析式L:y=x2+2019x,直线解析式a:y=x2019,联立上述两个解析式可得:x1=1,x2=2019,可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值,且1和2019之间(包括1和2019),共有2021个整数;另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线,线段和抛物线上各有2021个整数点,总计4042个点,这两段图象交点有2个点重复重复,美点”的个数:40422=4040(个);当b=2019.5时,抛物线解析式L:y=x2+2019.5x,直线解析式a:y=x2019.5,联立上述两个解析式可得:x1=1,x2=2019.5,当x取整数时,
8、在一次函数y=x2019.5上,y取不到整数值,因此在该图象上“美点”为0,在二次函数y=x+2019.5x图象上,当x为偶数时,函数值y可取整数,可知1到2019.5之间有1009个偶数,并且在1和2019.5之间还有整数0,验证后可知0也符合,条件,因此“美点”共有1010个故b=2019时“美点”的个数为4040个,b=2019.5时“美点”的个数为1010个【名师点睛】本题考查了二次函数,熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键3(2019陕西)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(ca)x+c经过点A(3,0)和点B(0,6),L关于原点O对称的抛物线为
9、L(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L上,且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D若POD与AOB相似,求符合条件的点P的坐标【答案】(1)L:y=x25x6(2)符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或(,)或(4,2)【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:,解得,L:y=x25x6(2)点A、B在L上的对应点分别为A(3,0)、B(0,6),设抛物线L的表达式y=x2+bx+6,将A(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=5,抛物线L的表达式为y=x25x+6,A(3,0),B(0,6),AO=3,OB=6,设:P(m,m25m+6)(m0),PDy轴,点D
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