分类加法计数原理与分步乘法计数原理(习题课)ppt课件.ppt
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1、第一章第一章 计数原理计数原理 完成一件事,有完成一件事,有n类办法类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法,在第种不同的方法,在第2类方法中有类方法中有m2种不同的种不同的方法,方法,在第,在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法,种不同的方法,则完成这件事共有则完成这件事共有 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分类标准下进行分类,然后对每类方法计数类标准下进行分类,然后对每类方法计数.1)各类办法之间相互独立)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要都能独立的完成这件事,要计算方法种数计算方法种数,只需将各类方法
2、数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原因此分类计数原理又称理又称加法原理加法原理N= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法基本知识基本知识 完成一件事,需要分成完成一件事,需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法,做第种不同的方法,做第2步有步有m2种不同的方法,种不同的方法, ,做第做第n步有步有mn种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法,则完成这件事共有 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准,)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准,然后对每步方法计数然后对每步方法计数.1)各个步骤相互依存)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各
3、个步骤都完成了,这件事这件事才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法基本知识基本知识例例1.三个比赛项目,六人报名参加。三个比赛项目,六人报名参加。)每人参加一项有多少种不同的方法?)每人参加一项有多少种不同的方法?2)每项人,每人参加的项数不限,有多少种)每项人,每人参加的项数不限,有多少种不同的方法?不同的方法?3)每项人,且每人至多参加一项,有多少种)每项人,且每人至多参加一项,有多少种不同的方法?不同的方法?6(1)3729(3)6 5 4120
4、3(2)6216例题讲解例题讲解例例2设集合设集合A1,2,3,4,B5,6,7,则从,则从A到到B的共有多少个不同映射?的共有多少个不同映射?二、映射个数问题二、映射个数问题:例题讲解例题讲解变式:设集合变式:设集合A1,2,3,4,B5,6,7,则从,则从B到到A的共有多少个不同映射?的共有多少个不同映射?43813464三三.子集问题子集问题规律:规律:n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。12 ,.,nAa aa2n变式:变式:集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ,真子集个数为,真子集个数为 ,非空子集个,非空子集个数为数为 ,非空真子集个数为,非空
5、真子集个数为 。例例3:n元集合元集合 的不的不同子集有多少个?同子集有多少个? 12 ,.,nAa aa52125125225例题讲解例题讲解例例4:244:24有多少个正约数有多少个正约数? ?其中偶约数有多其中偶约数有多少个?少个?四四.约数问题约数问题例题讲解例题讲解324233 1 1 18正约数有正约数有 个,个,其中偶约数有其中偶约数有6个个. 例例5:如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方
6、案有多少种?同的涂色方案有多少种?五五.涂色问题涂色问题:例题讲解例题讲解解解: 按地图中按地图中A、B、C、D四个区域依次分四步完成四个区域依次分四步完成, 第一步第一步, 给区域给区域A涂色,有涂色,有3种涂法;种涂法; 第二步第二步, 给区域给区域B涂色,有涂色,有2种涂法;种涂法; 第三步第三步, 给区域给区域C涂色,有涂色,有1种涂法;种涂法; 第四步第四步, 给区域给区域D涂色,有涂色,有1种涂法;种涂法;所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。例题讲解例题讲解 1、如图、如图,要给地图要给地图
7、A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种?同的涂色方案有多少种? 若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢?结果又怎样呢? 答答:它们的涂色方案种数它们的涂色方案种数分别是分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。种等。思考:思考:引申引申:2、将红、黄、绿、黑、将红、黄、绿、黑4种不同的颜种不同的颜色涂入右图中的五个区域内,要求色涂入右图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,相
8、邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法。则有多少种不同的涂色方法。 ABCDE解法解法1: 按地图中按地图中B、D区域是否同色分两类完成区域是否同色分两类完成, 第一类第一类, B、D同色,有同色,有43 2 12=48种涂法;种涂法; 第二类第二类, B、D不同色,有不同色,有43 2 11=24种涂法;种涂法; 根据分类加法原理根据分类加法原理, 不同的涂色方案共有不同的涂色方案共有48+24 =72 种。种。变式训练变式训练2、将红、黄、绿、黑、将红、黄、绿、黑4种不同的颜种不同的颜色涂入右图中的五个区域内,要求色涂入右图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,相
9、邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法。则有多少种不同的涂色方法。 ABCDE解法解法2: 依题意至少要选用依题意至少要选用3种颜色,种颜色, 按所用的颜色种数分两类完成按所用的颜色种数分两类完成, 第一类:选用三种颜色时,区域第一类:选用三种颜色时,区域B,D必须同色,区域必须同色,区域A,E必须同色必须同色,故有故有43 2 11=24种涂法;种涂法; 第二类:选用四种颜色时,若区域第二类:选用四种颜色时,若区域B,D同色,则区域同色,则区域A,E不同色不同色,有有43 2 11=24种涂法;若区域种涂法;若区域A,E同同色,则区域色,则区域B,D不同色不同色,有有43 2
10、11=24种涂法;种涂法;由分类加法原理由分类加法原理, 不同的涂色方案共有不同的涂色方案共有24+24+24 =72 种种。变式训练变式训练. .如图如图, ,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析:分析:如图,如图,A A、B B、C C三个区域两两相邻,三个区域两两相邻,A A与与D D不相邻,因此不相邻,因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域
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