微分与差分模型简介ppt课件.ppt
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1、微分与差分方程模型简介微分与差分方程模型简介 常微分与常差分方程的定义常微分与常差分方程的定义 种群动力学模型简介种群动力学模型简介 流行病动力学模型简介流行病动力学模型简介 模型性态分析方法简介模型性态分析方法简介一一.常微分与常差分方程的定义常微分与常差分方程的定义1.导数的定义及其意义导数的定义及其意义 )(xfy 0 xx 设函数 在点的某域内有定义,则称极限 )()()(000lim0 xfxxxfxfxx为函数在点0 xx 处的导数.函数在某点处的导数反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度,是刻画函数变化率的一个重要数学量.任意一个涉及到两个变量之间变化率的实际问题均可考虑建立
2、微分方程模型来进行讨论.如速率,出生率,死亡率等.2. 常微分方程定义常微分方程定义凡含有未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫常微分方程,未知函数是多元函数的叫偏微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.n阶微分方程形如 0),.,()(nyyyxF特别地,一阶微分方程为),(0),(yxfyoryyxF需要注意:n阶微分方程的通解含有n个任意常数. 若需确定这 n 个任意常数,需给出n个初始条件.但并非每个微分方程或方程组均可求出其解.3.差分与差分方程差分与差分方程定义定义3.1 设函数 y=f(x),记为y
3、x .当x 取遍非负整数时,所得函数值可排成一数列:,10 xyyy则差xxyy1称为函数有y=f(x) 的一阶差分,记为xy.,2)(,221211211称为函数的二阶差分)(即记为)(从而,即xxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyy类似地, 可定义二阶以上的差分.定义定义3.2 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期的符号的方程称为差分方程.差分方程中未知函数的最大值与最小值之差称为差分方程的阶.例如阶差分方程都属于nyyyxGyyyxFnxxxnxxx0),(0),(11定义定义3.3 如果一个函数带入差分方程后,方程两边相等,则称此函数为差分方程的解. 的解。为
4、方程例:22131xxyyx.,0:.,)(,),(),(5 . 3.,0)(.)()()()(4 . 3221010110为原差分方程的一解则若其根为其特征方程记为称为线性其次差分方程上述方程均为常数时若定义程否则成为非齐次差分方齐次差分方程时成为线性当阶线性差分方程的差分方程成为形如定义xiinnnnxnxxppppxpxpxpxKnxKyxpyxpyxp类似于常系数线性齐次常微分方程的通解的构造,我们只需找到该差分方程的n 个线性无关的解,作出其线性组合即可.常见的一阶差分方程常见的一阶差分方程设 f 是由区间a,b到其自身的一个连续映射,一阶自治差分方程的一般形式为.2 , 1 , 0
5、)(1nxfxnn给定初值0 x,通过上式反复迭代上述方程的解为一数列.,.,10nxxx二.种群动力学模型简介 种群动力学是用动力学的方法去研究种群生态学,而种群生态学是生态学的一个重要分支,也是迄今为止数学在生态中应用的最广泛深入,发展的最为系统和成熟的分支. 下面将通过数学生态学中的一些基本动力学模型,简要介绍建模思想,及常用的研究方法. 生态学是研究生物的生存条件,生物群与环境之间相互作用的过程及其规律的科学.在一特定时间内占据一定空间的同一物种的集合成为一个种群,种群的每个成员成为一个个体. 种群生态学的着眼点在整个种群的演变规律和发展趋势,而往往忽略个体的特性. 种群生态学研究的主
6、要问题有两个:(1)种群随时间的变化规律.随着时间的推移,种群是持续生存还是绝灭,种群规模是否具有平衡态,有几个,是静平衡还是动平衡等等. (2)如何对可再生资源进行开发利用才能既保持生态平衡,又获取最大的经济效益.(1)单种群模型单种群模型1.Malthus人口模型人口模型)(1trxdtdxorrdtdxxX(t)表t时刻人口数,模型表为t时刻种群的变化率是与种群数目成正比.r为内禀增长率,是种群的出生率b与死亡率d之差.方程的解为)()(, 00ttxrexxrt当Malthus模型当t不很长时是比较符合实际的,但当t趋于无穷大时x(t)将无限增长是与实际不符的.问题在于建立数学模型时没
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