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1、数值分析课程实验报告 数值分析课程实验报告 实验名称用二分法和迭代法求方程的根 成绩 一、实验目的 掌握利用二分法以及迭代法求方程近似根的方法,并学会运用matlab软件编写程序,求解出方程的根,对迭代法二分法进一步认识并灵活运用。 二、实验内容 比较求方程50xxe-=的根,要求精确到小数点后的第4位1.在区间0,1内用二分法;2.用迭代法1/5kxkxe+=,取初值00.25x=.三、算法描述 1、二分法:二分法是最简单的求根方法,它是利用连续函数的零点定理,将汗根区间逐次减半缩小,取区间的中点构造收敛点列来逼近根x.2、迭代法:迭代法是一种逐次逼近的方法,其步骤是首先给定一个粗糙的初始值
2、,然后用一个迭代公式反复修正这个值,知道满足要求为止。 四、实验步骤 11、二分法: (1)计算f(x)在区间0,1端点处的值f(0)和f(1)的值; (2)计算f(x)在区间【0,1】的中点(0+1)/2=1/2处的值f(a+b)/2); (3)如果函数值f(1/2)=0,则1/2是f(x)=0的实根,输出根x,终止;否则继续转(4)继续做检验。由于f(1/2)0,所以继续做检验。 (4)如果函数值f(0)*f(1/2)-|01xx,则以1x代替0x转(2)步继续迭代;当e-|01xx时 终止计算,取作为所求结果。 五、程序 (1)二分法程序: functiony=bisection(fx,
3、xa,xb,n,delta) x=xa;fa=5*x-exp(x); x=xb;fb=5*x-exp(x); disp( n xa xb xc fc ); fori=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=5*x-exp(x); X=i,xa,xb,xc,fc; disp(X), iffc=0,end iffc*fa0 xb=xc; elsexa=xc; end if(xb-xa)delta,break,end end (2)迭代法程序: functiony=diedai(fx,x0,n,delta) disp( k xk ); fori=1:n x1=(exp(x0)/5; X=i
4、,x1; disp(X); ifabs(x1-x0)delta fprintf(Theprocedurewassuccessful) return else i=i+1; x0=x1; end end 六、实验结果及分析 (1)二分法: 实验结果如下: n xa xb xc fc 1.0000 0 1.0000 0.5000 0.8513 2.0000 0 0.5000 0.2500 -0.0340 3.0000 0.2500 0.5000 0.3750 0.4200 4.0000 0.2500 0.3750 0.3125 0.1957 5.0000 0.2500 0.3125 0.2813
5、0.0815 6.0000 0.2500 0.2813 0.2656 0.0239 7.0000 0.2500 0.2656 0.2578 -0.0050 8.0000 0.2578 0.2656 0.2617 0.0094 9.0000 0.2578 0.2617 0.2598 0.0022 10.0000 0.2578 0.2598 0.2588 -0.0014 11.0000 0.2588 0.2598 0.2593 0.0004 12.0000 0.2588 0.2593 0.2590 -0.0005 13.0000 0.2590 0.2593 0.2592 -0.0001 14.00
6、00 0.2592 0.2593 0.2592 0.0002 15.0000 0.2592 0.2592 0.2592 0.0001 依据题目要求的精度,则需做二分十四次,由实验数据知x=0.2592即为所求的根 (2)迭代法: 实验结果如下: 根据题目精度要求,故所求根为x=0.2592. 对二分法和迭代法的观察和分析我们可以知道,二分法的优点是方法比较简单,编程比较容易,只是二分法只能用于求方程的近似根,不能用于求方程的复根,且收敛速度慢。而迭代法的收敛速度明显大于二分法的速度。 九十分! 学号: 姓名: 实验二插值法 实验2.1(多项式插值的振荡现象) 问题提出:考虑一个固定的区间上用插
7、值逼近一个函数。显然拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时,L(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出了一个极著名例子。设区间-1,1上函数 f(x)=1(1+25x2) 实验内容:考虑区间-1,1的一个等距划分,分点为: x(i)=-1+2i/n,i=0,1,2,n 则拉格朗日插值多项式为: L(x)=l(i)(x)/(1+25x(j)2)i=0,1,n 其中l(i)(x),i=0,1,n,n是n次拉格朗日插值基函数。 实验要求: 选择不断增大的分点数目n=2,3,画出f(x)及插值多项式函数L(x)在-1,1上的图象,比较分析实验结果。 (2)选择其它的函数,例如定义在区间-5,5上的函数 h(x)=x/(1+x4),g(x)=arctanx 重复上述的实验看其结果如何。 (3)区间a,b上切比雪夫点的定义为: xk=(b+a)/2+(b-a)/2)cos(2k-1)/(2(n+1),k=1,2,n+1 以x1,x2x(n+1)为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果。 实验过程: 程序:。 数值实验结果及分析:。 讨论。 实验总结:。 好文章经得起推敲。 7
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