以2l为周期的函数的展开式ppt课件.ppt
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1、2 以以 2l 为周期的函数的展开式为周期的函数的展开式 上节讨论了以上节讨论了以 2 为周期为周期, , 或定义在或定义在上然后作上然后作2 周期延拓的函数的傅里叶展开式周期延拓的函数的傅里叶展开式, , 本节讨论更有一般性的本节讨论更有一般性的以以2l为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开式傅里叶展开式, , 以及偶函数和奇函数的傅里以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式叶展开式. . (, 一、以一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数周期为周期为 2l 函数函数 f (x)周期为周期为 2 函数函数 F(t)
2、变量代换变量代换xtl将将F(t) 作傅作傅里叶级数里叶级数展开展开 f (x) 的傅的傅里叶级数里叶级数展开式展开式一、以一、以2l为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 设设 f 是以是以 2l 为周期的函数为周期的函数, , 通过变量替换通过变量替换: : ,xlttxl或或( ).ltF tff, l l F 若若在在上可积上可积, 则则在在 , 上也可积上也可积, 这时函数这时函数 F 的傅里叶级数展开式是的傅里叶级数展开式是: 01( )(cossin),(1)2nnnaF xanxbnx就可以将就可以将 f 变换成以变换成以 为周期的关于变量为周期的关于变量 t 的函数
3、的函数 2其中其中 (2) (2)1( )cosd ,1,2,1( )sindt ,1,2,.nnaF tnt tnbF tntnxtl( )( ).ltF tff x因为因为, 所以所以于是由于是由(1)与与 (2)式分别得式分别得 01( )(cossin),(3)2nnnan xn xf xabll与与这里这里(4)式是以式是以2l 为周期的函数为周期的函数 f 的傅里叶系数的傅里叶系数, (3) 式是式是 f 的傅里叶级数的傅里叶级数. . 1( )cosd ,0,1,2,1( )sind ,1,2,3,.lnllnln xaf xxnlln xbf xxnll(4)01( )(cos
4、sin),(3)2nnnan xn xf xabll若函数若函数 f 在在, l l 上按段光滑上按段光滑, 则同样可由收敛定理则同样可由收敛定理 知道知道 (0)(0)2f xf x01(cossin).(5)2nnnan xn xabll例例1 将函数将函数0,50,( )3,05xf xx展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数. .(5,5,f由由于于在在上上按按段段光光滑滑 因因此此可可解解以以展展开开成成傅傅里叶级数里叶级数. .根据根据 (4) 式式, ,有有 0550110 cosd3cosd5555nn xn xaxx5035sin0,1,2,55n xnn5505011( )d3d
5、3,55af xxx5013sind55nn xbx50353(1cos )cos55n xnnn6,21,1,2,(21)0,2 ,21,2,.nkkknkk代入代入(5)式式, , 得得136(21)( )sin2(21)5kkxf xk361315sinsinsin.253555xxx(0)(0)2f xf x01(cossin).(5)2nnnan xn xabll( 5,0)(0,5).x 0 x 这里这里 当当和和5 时级数收敛于时级数收敛于 3.2二、偶函数与奇函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 , l l ( )cosf xnx的的偶函数偶函数, 则在则在上上, 是
6、偶函数是偶函数, ( )sinf xnx是奇函数是奇函数. 因此因此, f 的傅里叶系数的傅里叶系数(4)是是 01( )cosd2( )cosd ,0,1,2,(6)1( )sind0,1,2,.lnlllnln xaf xxlln xf xxnlln xbf xxnll设设 f 是以是以 2l 为周期的偶函数为周期的偶函数, , 或是定义在或是定义在 上上, l l 于是于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项的傅里叶级数只含有余弦函数的项, , 即即其中如其中如 (6) 式所示式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数式右边的级数称为余弦级数. .01( )cos,(7)2nnan xf
7、xal同理同理, 若若 f 是以是以 2l 为周期的奇函数为周期的奇函数, , 或是定义在或是定义在 , l l上的奇函数上的奇函数, 类似可推得类似可推得 01( )cosd0,0,1,2,(8)2( )sind ,1,2,.lnllnn xaf xxnlln xbf xxnll所以当所以当 f 是奇函数时是奇函数时, 它的傅里叶级数只含有正弦它的傅里叶级数只含有正弦 函数的项函数的项, , 即即 1( )sin,(9)nnn xf xbl 其中其中nb如如 (8) 式所示式所示. (9) 式右边的级数称为式右边的级数称为正弦级正弦级 数数. . 当且当且 f 为奇函数时为奇函数时, , 则
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