2022年不等式选讲导学案 .pdf
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1、学习必备欢迎下载选修 4-5 1.1 不等式基本性质【自主学习】一、 学习目标1.理解并掌握不等式的性质,能灵活运用实数的性质2.掌握比较两个实数大小的一般步骤二、 知识梳理1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的在数轴上,右边的数总比左边的数(2)如果 ab0,则;如果 ab0,则;如果 ab 0,则. (3)比较两个实数a 与 b 的大小,归结为判断它们的;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些基本性质:(1)如果 ab,那么 b a;如果 b
2、a,那么 a b.即. (2)如果 ab,bc,那么.即 ab,bc?. (3)如果 ab,那么 a c . (4)如果 ab,c0,那么 ac bc;如果 ab,cb0,那么 anbn(nN,n 2) (8)如果 ab0,那么nanb(nN,n 2) 3对上述不等式的理解使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如:(1)等式两边同乘以一个数仍为等式,但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式 )结果有三种:c0 时得不等式; c0 时得; cb d,即两个同向不等式可以相加,但不可以;而 ab0,cd0? acbd, 即已知的两个不等式同向且两
3、边为时,可以相乘, 但不可以(3)性质 (5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为,并且 nN,n2 ,否则结论不成立而当 n 取正奇数时可放宽条件,ab? anbn(n2k1,kN),ab?nanb(n2k 1,kN)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【课堂检测】例 1比较例 2已知 ab0, cd0,求证:abdc. 例 3已知: 1 ab 1,1 a2b3 ,求 a3b
4、的范围【拓展探究】1. 已知 x,y 均为正数,设m1x1y,n4xy,试比较m 和 n 的大小2判断下列命题的真假,并简述理由(1)若 ab, cd,则 acbd;(2)若 ab, cbd;3已知 1 4 , 2 1,求 2 的取值范围【当堂训练】1设Rdcba,,且dcba,,则下列结论正确的是() AdbcaBdbcaCbdacDcbda2下列不等式成立的是() A log32log25log23 B log32log23log25 C log23log32log25 Dlog23log250,y0 且 x2y3,求 xy 的最大值3若正数a、b 满足 abab 3, (1)求 ab 的
5、取值范围;(2)求 ab 的取值范围【当堂训练】1设Ryx,,且满足404yx,则yxlglg的最大值为() A40B10C 4D2 2设Ryx,且5yx,则yx33的最小值为() A10 B6C4D183若正数ba,满足3baab,则ab的取值范围是. 4已知yxba,都是正数 ,且1ba,求证 :xyaybxbyax)(名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【学习小结】在应用基本
6、不等式求最值时,分以下三步进行:1.首先看式子能否出现和(或积 )的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;2.其次, 看所用的两项是否同正,若不满足, 通过分类解决, 同负时, 可提取 ( 1)变为同正;3.利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决【课外拓展】1一商店经销某种货物,根据销售情况,年进货量为5 万件,分若干次等量进货(设每次进货 x 件),每进一次货运费50 元,且在销售完该货物时,立即进货,现以年平均x2件货储存在仓库里,库存费以每件20 元计算,要使一年的运费和库存费最省,每次进货量x 应是多少?选修 4-5 1.3
7、 三个正数的算术-几何平均不等式【自主学习】四、 学习目标1. 能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问题2. 了解基本不等式的推广形式二、 知识梳理1定理 3 如果a,b,c R,那么abc33abc,当且仅当时,等号成立,用文字语言可叙述为:三个正数的不小于它们的(1)不等式abc33abc成立的条件是:,而等号成立的条件是:当且仅当. (2)定理 3 可变形为:abc(ab c3)3; a3b3c33 abc. (3)三个及三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的,即“ 一正,二定,三相等” 2定理 3的推广对 于n 个
8、正 数a1, a2, , an, 它 们 的 算 术 平 均 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 ,即,当且仅当时,等号成立【课堂检测】例 1已知 x、y、zR,求证: 27xyz. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2如图,把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大
9、?【拓展探究】1已知 a,b,cR,求证:bcaacabba bcc 3.2求函数y(x1)2(32x)(1x0,则 f(x) 4x12x2的最大值为() A422B42 C不存在D52名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载选修 4-5 2.1 绝对值三角不等式【自主学习】五、 学习目标1了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法,会进行简单的应用。2充分运用观察
10、、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。二、 知识梳理绝对值三角不等式(1)定理 1:如果 a,b 是实数,则 |ab| |a|b|,当且仅当时,等号成立几何解释:用向量a,b 分别替换a,b. 当 a 与 b 不共线时,有|ab|a| |b|,其几何意义为:若 a, b 共线,当 a 与 b 时, |ab| |a|b|,当 a 与 b 时, |ab|0,|x a|?,|yb|?,求证: |2 x +3 y -2 a -3 b |5?. 例 2求函数 y|x 3| |x1|的最大值和最小值【拓展探究】1已知 |Aa|s3,
11、 |B b|s3,|Cc|s3.求证: |(ABC)(abc)|s. . 2设 a、b 是满足 ab|ab|B |ab|ab| 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C |a b|a|b| D|ab|0,|xa|4,|ya|6.求证: |2x3y2a3b|0)型不等式的解法只需将 axb 看成一个整体,即化成|x| a, |x| a(a0)型不等式求解|axb| c(c0)型不等式的
12、解法:先化为,再由不等式的性质求出原不等式的解集不等式 |axb| c(c0)的解法:先化为或,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集2|xa|xb| c 和|xa|xb| c 型不等式的解法利用绝对值不等式的求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键以绝对值的为分界点,将数轴分为几个区间,利用 “ 零点分段法 ” 求解,体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性, 进而去掉绝对值符号是解题关键通过构造函数,利用函数的图像求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键【课堂检测】例 1
13、解下列不等式:(1)|3x1| 2; (2)|2-3x| 7. 例 2解不等式 |x1|+|x2| 5. 【拓展探究】1解下列不等式:(1)|32x|2x3x4; (3)|2x3x4|x1(4)213xx(5)xx213(6)|2 | |1|xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 2已知23Axxa,Bx x10,且AB,求实数a的范围3已知不等式|x 2| |x3|m. (1
14、)若不等式有解;(2)若不等式解集为R;(3)若不等式解集为,分别求出m 的范围【当堂训练】1.1122 x201314x3423xx. 4xx21. 51422xx6212xx. 742xx8.631xx921xx10. 24xx【学习小结】1. |axb| c 和 |axb| c 型不等式的解法:当 c0 时, |axb| c? axb c或 axb c,|axb| c? c axb c. 当 c0 时, |ax b| c 的解集为R, |axb|c 的解集为 ?. 当 c0)型不等式的三种解法:分区间(分类 )讨论法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦; 几何法和图像法直
15、观,但只适用于数据较简单的情况【课外拓展】1若11xxxx,则实数x的取值范围是() A(1,0) B1,0 C(, 1)(0,) D(,10,2若1a,则不等式1ax的解集是() Aaxax11Baxaxx11或CDR3已知集合312,0652xxBxxxA,则BA等于() A3, 2B3,2C3 ,2D)3 , 1(4已知关于x 的不等式 |x+2|+|x-3|0?, a b0,若,则 ab;若则 ab;b0,若则 ab. (2)作商比较法解题的一般步骤:判定a,b 符号;作商;变形整理;判定;得出结论【课堂检测】例 1设 ABC 的三边长分别是a、b、c,求证:2)()(4cbaacbc
16、ab例 2设 a0,b0,求证:2)(babaabba例 3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m 行走,另一半以速度n 行走;乙有一半路程以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走如果mn,问甲、乙二人谁先到达指定地点?【拓展探究】1. 求证:)1(222baba2设0ba,求证:babababa2222. 3某人乘出租车从A 地到 B 地,有两种方案;第一种方案:乘起步价为10 元每千米1.2元的出租车,第二种方案:乘起步价为8 元,每千米1.4 元的出租车按出租车管理条例,在起步价内不同型号的出租车行驶的路程是相等的,则此人从A 地到 B 地选择哪一种方案比较合适?
17、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【当堂训练】1设mba,都是正数 ,且ba,则下列不等式中恒成立的是() A1mbmabaBmbmabaC1mbmabaDbambma12“1a” 是“11a” 的() A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知xcxbxax11,1,2, 10,则其中最大的是. 4若x是正数,且23xx,则x与45的大小关系为
18、. 【学习小结】. 作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“ 差式 ” 的符号,常将“ 差式 ” 变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“ 差式 ” 是某字母的二次三项式时,常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论. 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常采用作商比较法,用作商比较法时,如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果进行比较. 应用
19、不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决 也即建立数学模型是解应用题的关键,最后利用不等式的知识来解在实际应用不等关系问题时, 常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断4. 选修 4-5 2.1 比较法【课外拓展】1设baBbaARba,,则BA,的大小关系是() ABABBACBADBA2已知下列不等式:xx232;322355bababa;) 1(222baba. 其中正确的个数为() A0B1C2D 3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -
20、 - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 27 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3设0,0 ba,下列不等式中不正确的是() Aabba222B2baabCbabaab22Dbaba1114在等比数列na和等差数列nb中,313311,0, 0aababa则5a与5b的大小关系为() A55baB55baC55baD不确定5设)0, 0(2,2121babaBbaA则BA,的大小关系为. 6已知0, 0 ba,求证:baabba7若nmba,都为正实数,且1nm求证:bnamnbma8 已知函数baxxxf2)(, 当qp,满足1qp时,
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