2022年第章勾股定理知识点与常见题型总结 .pdf
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1、第 18章勾股定理复习一知识归纳勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a, b ,斜边为c,那么222abc勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“ 勾三,股四,弦五” 形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不
2、会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一: 4EFGHSSS正方形正方形 ABCD,2214()2abbac ,化简可证cbaHGFEDCBA方法二:bacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三:1() ()2Sabab梯形,2112S222ADEABESSabc梯形,化简得证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3、 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - abccbaEDCBA .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,90C,则22cab,22bca,22acb知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a, b ,c满足222abc ,那么这个三角形是直
4、角三角形,其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a, b,c为三边的三角形是直角三角形;若222abc ,时,以a, b ,c为三边的三角形是钝角三角形;若222abc ,时,以a, b ,c为三边的三角形是锐角三角形;定理中a, b,c及222abc 只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b ,c满足222acb ,那么以a, b ,c为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问
5、题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222abc 中,a, b ,c为正整数时,称a, b ,c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25 等用含字母的代数式表示n组勾股数:221,2 ,1nn n(2,nn为正整数);2221,22 ,221nnnnn(n为正整数)2222,2,mnmn mn (,mn m,n为正整数)勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问
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