初三相似三角形知识点以及经典例题.doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念(1)在四条线段中,如果a和b的比等于c和d的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段注:比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:在比例式中,a、d叫比例外项,b、c叫比例内项, a、c叫比例前项,b、d叫比例后项,如果b=c,即 那么b叫做a、
2、d的比例中项, 此时有。知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)(1) 基本性质:注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如,除了可化为等。(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):(3)反比性质(把比的前项、后项交换): (4)合、分比性质:典型例题:例题1:已知线段a6 cm,b2 cm,则a、b、ab的第四比例项是_cm,ab与ab的比例中项是_cm例题2:若m2,则m_知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它
3、两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似) 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形相似用符号“”表示,读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等,对应边成比例注:对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:反身性:对于任一有
4、对称性:若,则 传递性:若,且,则(2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形:用数学语言表述是:, 知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1:两角对应相等,两三角形相似4、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似5、判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的
5、斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似(射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。)如图,RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则AD2=BDDC,AB2=BDBC ,AC2=CDBC 。经典例题:例题1:判断对错: (1)两个直角三角形一定相似吗?为什么? (2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么?(3)两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么? (4)两个等边三角形一定相似吗?为什么?(5)两个全等三角形一定相似吗?为什么?例题2:下列能够相似的一组三
6、角形为( ) A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形例题3:如图所示,已知 中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.例题4:已知在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6.在RtEDF中,F=90,DF=3,EF=4,则ABC和EDF相似吗?为什么?例题5:如图所示,点D在ABC的边AB上,满足怎样的条件时,ACD与ABC相似?试分别加以列举.例题6:已知:如图正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点求证:ADQQCP例题7:已知
7、:如图,AD是ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点求证:DFEABC例题8:如图,ABC中,CDAB于D,E为BC中点,延长AC、DE相交于点F,求证例题9:如图,在ABC中,ABAC,延长BC至D,使得CDBC,CEBD交AD于E,连结BE交AC于F,求证AFFC例题10: 如图,BD、CE分别是ABC的两边上的高,过D作DGBC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H,求证:(1)DG2BGCG;(2)BGCGGFGH例题11:如图,ABCCDB90,ACa,BCb(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时,ABCCDB?(2)过点A作BD的垂线,与DB的延长线交于点E,若ABCCDB求证
8、四边形AEDC为矩形(自己完成图形)知识点8 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等知识点9 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法:(1)线段成比例的定义 (2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳:(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相
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