人教A版(2019)高中数学必修第一册1.4.1充分条件和必要条件 教案.docx
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1、1.4.1 充分条件与必要条件教学目标:1通过研究实例抽象出充分条件与必要条件的概念,能利用充分条件与必要条件对具体的例子进行分析和表述,在这个过程中提升数学抽象素养2通过探索充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系,进一步理解充分条件、必要条件,能进行充分条件、必要条件的判断与应用,在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养教学重点:充分条件、必要条件的意义;教学难点:必要条件的意义教学过程:(一)整体概览问题1:阅读课本第17页第一段,回答下列问题:(1)本节将要研究哪些内容?(2)本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的?(3)并试着依据一个新概念的学习过程,给出你的研究思路与
2、方法师生活动:学生独立思考,回答问题,生生、师生之间互相订正和补充预设的答案:对于问题1(1),学生应该能够完整地回答出:本节将要研究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语充分条件、必要条件和充要条件对于问题1(2)和(3)估计学生会感到棘手由教师讲解(2)三个常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言(3)新概念的学习过程:具体实例定义表示辨析应用猜想:具体实例什么是充分条件、必要条件和充要条件?如何表示?如何判断?如何应用?设计意图:通过阅读,首先让学生对本节的研究内容、研究过程有个概览,提高学生学习的系统性;明确三种
3、常用逻辑用语学习的必要性;通过类比所学知识,猜想新知识的研究思路和过程,有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力(二)问题导入问题2:在初中,我们学习过命题,什么是命题?什么是真命题和假命题?你能举一些例子吗?并试着将你的例子改写成“若p,则q”的形式师生活动:根据学生列举的例子,教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识:命题的概念、命题真假及其判断等,并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式是:“若p,则q”,通过改写列举的命题,认识条件和结论设计意图:复习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念,认识命题的条件和结论,为后续学习做好铺垫引语:本节我们主要讨论“若p,则q”这种形式的命题,
4、并进一步考察命题中p和q的关系,学习数学中的一些常用的逻辑用语(三)新知探究1形成概念问题3:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;(3)若,则x=1;(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a/b师生活动:学生判断命题(1)(4)的真假,并得到命题(1)(4)为真命题,命题(2)(3)为假命题教师追问,引导学生将具体结论一般化追问1:关于命题(1)和命题(4),由条件p通过推理可以得到结论q,所以它们是真命题对于一般的“若p,则q”形式的命题,如果由p通过
5、推理可以得到q,那么这个命题为真命题吗?反过来,如果这个命题是真命题,那么由p通过推理一定可以得到q吗?追问2:关于命题(2)和命题(3),由条件p通过推理不能得到结论q,所以它们是假命题对于一般的“若p,则q”形式的命题,如果由p通过推理不能得到q,那么这个命题为假命题吗?反过来,如果这个命题是假命题,那么由p通过推理一定不能得到q吗?教师引导学生梳理讨论的结果,由教师讲解或者学生阅读课本获得定义:一般地,“若p,则q”为真命题,就是指由p通过推理可以得到q这时,我们就说,由p可以推出q,记作并且说,p是q的充分条件(sufficient condition),q是p的必要条件(necess
6、ary condition)如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p q此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件设计意图:从学生熟悉的命题出发,在判断“若p,则q”形式命题真假的基础上,明确“命题的真假”与“由p推出q”的关系,从而形成充分条件和必要条件的定义3辨析概念问题4:根据定义,在上述命题(1)(4)中,p是否为q的充分条件?q是否为p的必要条件?为什么?师生活动:学生可以解决这个问题答案略追问1:判断p是否为q的充分条件,q是否为p的必要条件的依据和方法是什么?师生活动:学生独立思考,展示交流,给出总结及解释预设的答案:判断充分(必要)条件的依据是:
7、充分条件和必要条件的定义具体方法是:命题法:判断命题“若p,则q”的真假设计意图:利用定义解决问题,形成方法追问2:对于命题(1)满足,那么若q不成立,p成立吗?请你解释对于命题(4)呢?一般地,当时,那么若q不成立,p成立吗?你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件?师生活动:学生独立思考,展示交流预设的答案:p是q的充分条件,即p成立足够推出q成立;q是p的必要条件,即如果q不成立,p一定不成立,所以q对于p成立而言是必要的设计意图:通过对具体例子的辨析,学会判断充分条件和必要条件的方法;借助具体例子,明确充分条件和必要条件的含义,突破理解必要条件这一难点例1 下列“若p,则q”形式的命题
8、中,哪些命题中的p是q的充分条件?(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;(4)若,则;(5)若,则;(6)若为无理数,则为无理数追问1:判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么?(答案略)师生活动:学生独立完成,要求写出判断过程和结果,然后展示交流,教师帮助学生规范过程预设的答案:解:(1)这是一条平行四边形的判定定理,所以p是q的充分条件(2)这是一条相似三角形的判定定理,所以p是q的充分条件(3)这是一条菱形的判定定理,所以p是q的充分条件(4)由于,但,pq,所
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