2022年全国百套高考数学模拟试题分类汇编导数与极限解答题b .pdf
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1、2008 届全国百套高考数学模拟试题分类汇编11 导数与极限三、解答题 ( 第二部分 ) 51、已知函数)0( 1)1ln()(xxexfx,( 1)求函数)(xf的最小值;( 2)若xy0,求证:)1ln() 1ln(1yxeyx解: (1))(xf=11xex,2分当0 x时,111, 1xex,所以当0 x时,)(xf0,则函数)(xf在, 0上单调递增,所以函数)(xf的最小值0)0(f;5分( 2)由( 1)知,当0 x时,0)(xf,yx,01)1ln()(yxeyxfyx,)1ln(1yxeyx7 分011)(ln)1ln()1ln()1ln(xxyxyyxyx,)1ln()1l
2、n()1ln(yxyx 10分由得)1ln()1ln(1yxeyx 12分52、( 河南省许昌市2008 年上期末质量评估) 已知函数f (x) x22ax,g(x) 3a2lnx b, 其中 a0设两曲线yf (x) ,yg(x) 有公共点,且在公共点处的切线相同 () 用 a 表示 b; () 求证:f (x) g(x) , (x0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页53、 ( 黑龙江省哈尔滨九中2008 年第三次模拟考试) 已知函数xxaxxf2)ln()(在0 x处取得极值,(1)求实数a的值;(2)若关
3、于x的方程bxxf25)(在区间2,0上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围 . 解:11)(.)ln()(2xaxxfxxaxxf又1.011,0)0(aaf即 4 分由023)ln(25)(2bxxaxbxxf得设23211)(,23) 1ln()(2xxxgbxxxxg则即)1(2)1)(54()(xxxxg13ln034)21ln()2(212ln0231)21ln()1(00)0(2, 00)(2,025)(8.)2,1 ()(,0)()2, 1 ()1 ,0()(0)()1 ,0(bbgbbgbbgxgbxxfxgxgxxgxgx恰有两个不同实数根在得于恰有两个不同实数根等在分
4、上单调递减在当上单调递增在当212ln13lnb 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页54、( 黑龙江省哈尔滨三中2008 年高三上期末) 已知函数22),1(log2,2)(232xxxxaexfx在处连续。(1)求实数 a 的值;(2)解关于 x 的不等式.2)(xf答案:( 1)1a(2)),1055、( 黑龙江省哈尔滨三中2008 年高三上期末) 设函数.3331)(23axxxxf(1)如果 a=1,求曲线)4,31()(过点xfy的切线方程;(2)当0)(,)0(3 ,xfaaax若时恒成立,求a
5、 的取值范围。答案:( 1)03308312yxyx或(2)a6 56、(黑龙江省哈师大附中2008 届高三上期末 ) 已知a为实数,).)(4()(2axxxf(1)若)(,0) 1(xff求在 4,4 上的最大值和最小值;(2)若,22,)(和在xf上都是递增的,求a的取值范围。解:( 1)) 1)(43()(,21012) 1(, 423)(2xxxfaafaxxxfx ( , 1) 1 )34, 1(34)4,34()(xf+ 0 0 + )(xf增极大减极小增42)4()(,54)4()(42)4(,54)4(,2750)34()(,29)1()(maxminfxffxffffxff
6、xf极小极大(2),22,0)(及对一切 xxf均成立,22002320)2(0)2(aaff即或57、(湖北省八校高2008 第二次联考 ) 已知( )lnf xaxbx,其中0,0ab. ()求使)(xf在0,上是减函数的充要条件;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页()求)(xf在0,上的最大值;()解不等式11ln 1ln 21xxxx解:( 1)( )1aabaxfxaxbaxb. 0,0,0 xab, ( )0fx 时,0ab,即 ab. 当 ab时,0,0,0.0,0abxaxbabax, 即( )0f
7、x . ( )f x在0,)上是减函数的充要条件为ba. ( 4 分)(2)由( 1)知,当 ba时( )f x 为减函数,( )f x 的最大值为(0)lnfb ;当 ba时,( )abaxfxaxb,当 0abxa时,( )0fx,当abxa时( )0fx,即在 0,)aba上( )f x 是增函数,在,)aba上( )f x 是减函数,abxa时( )f x 取最大值,最大值为max( )()lnababfxfaaa, 即maxln(),( )ln().bbafxababaa( 13 分)(3)在( 1)中取1ab,即( )ln(1)f xxx, 由( 1)知( )f x 在0,)上是减
8、函数 . 11ln(1)ln 21xxxx,即1()(1)fxfx,11xx,解得1502x或152x. 故所求不等式的解集为1515,0),)22(8 分)58、 ( 湖北省三校联合体高2008 届 2 月测试 ) 对于函数( )f x, 若存在0 xR, 使00()f xx成立,则称0 x为( )fx的不动点。如果函数2( )( ,*)xaf xb cNbxc有且仅有两个不动点0、2,且1( 2)2f。(1)试求函数( )f x的单调区间;(2)已知各项不为零的数列na满足14()1nnSfa,求证:1111lnnnnana;(3)设1nnba,nT为数列nb的前n项和,求证:200820
9、071ln 2008TT。(1)设22(1)0(1)xaxb xcxabbxc2012 01cbab012acb2( )(1)2xfxcxc由21( 2)1312fcc又,*b cN2,2cb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页2( )(1)2(1)xf xxx 3 分于是222222(1)22( )4(1)2(1)xxxxxfxxx由( )0fx得0 x或2x;由( )0fx得01x或12x故函数( )f x的单调递增区间为(,0)和(2,),单调减区间为(0,1)和(1,2) 4 分( 2)由已知可得22nnnS
10、aa,当2n时,21112nnnSaa两式相减得11()(1)0nnnnaaaa1nnaa或11nnaa当1n时,2111121aaaa,若1nnaa,则21a这与1na矛盾11nnaanan 6 分于是,待证不等式即为111ln1nnnn。为此,我们考虑证明不等式111ln,01xxxxx令11,0,t xx则1t,11xt再令( )1lng ttt,1( )1g tt由(1,)t知( )0g t当(1,)t时,( )g t单调递增( )(1)0g tg于是1lntt即11ln,0 xxxx令1( )ln1h ttt,22111( )th tttt由(1,)t知( )0h t当(1,)t时,
11、( )h t单调递增( )(1)0h th于是1ln1tt即11ln,01xxxx由、可知111ln,01xxxxx 10 分所以,111ln1nnnn,即1111lnnnnana 11 分(3)由( 2)可知1nbn则111123nTn在111ln1nnnn中令1,2,3,2007n,并将各式相加得111232008111lnlnln1232008122007232007即200820071ln 2008TT 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页59、( 湖北省黄冈市麻城博达学校2008 届三月综合测试)
12、若函数xxxgxxf2)(,ln)(()求函数)()()(Rkxkfxgx的单调区间()若对所有的aaxxxfx)(),3都有成立,求实数a的取值范围 . 解:( 1))(x的定义域为),0( 12 分222221)(xkxxxkxx 2 分82k当0)(,2222,082xkk时即时 3分2222,082kkk或即时时28,280222212kkxkkxkxx有两个不等实根方程0)(,0,2221xxxk故则若 4 分;0)(,; 0)(,00,2221121xxxxxxxxxk时当时当则若0)(,2xxx时当 5 分综上:),28()28,0()(,2222kkkkxk及的单调递增区间为时
13、当单调递减区间为28,2822kkkk)(,22xk时当的单调递增区间(0,+) 6 分(2)1lnlnxxxaaaxxxex 7 分),1ln)(exxxxxh令 8 分则2)1(1ln)(xxxxh 9 分021ln1ln011) 1ln( ,eeexxxxxex时当0)(xh 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页1)()(mineeehxh 11 分1eea 12 分另解:0ln)(aaxxxaaxxxf0)(,),ln)(minxhexaaxxxxh时则当令 7 分10)(,1ln)(aexxhaxx
14、h得由 8 分0)(,0)(011xhexxhexaa时当时且当),(,), 0()(11aaeexh在单减在单增 9 分当eeaa 1,2时0)()(),()(minaaeeehxhexh单增在1eea 11 分当aeaeeha0)(,2由时,2,2,2aeaaeeaaeeaeea则若则若2a故不成立 12 分综上所述1eea60、( 湖北省荆门市2008 届上期末 ) 已知函数21( )ln2f xxx. ( 1)求函数( )f x在1,e上的最大值、最小值;( 2)求证:在区间1,)上,函数( )f x的图象在函数32( )3g xx的图象的下方;( 3)求证:( )()nnfxfx22
15、(nnN*). 解:( 1)f(x)=1xx当x1,e时,f(x)0 ,( )f x在1,e上是增函数故min1( )(1)2f xf,2max1( )(e)e12f xf. 4 分( 2)设2312( )ln23F xxxx,则221(1)(12)( )2xxxFxxxxx,1x时,( )0Fx,故( )F x在1,)上是减函数 . 又1(1)06F,故在1,)上,( )0F x,即2312ln23xxx,函数( )f x的图象在函数32( )3g xx的图象的下方. 8 分( 3)x0,11( )()nnnnnfxfxxxxx,当1n时,不等式显然成立;精选学习资料 - - - - - -
16、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页当n2时,有1122121111( )()nnnnnnnnnfxfxC xC xCxxxx1224121224122421101111()()()2nnnnnnnnnnnnnnnnnC xC xCxCxCxCxxxx分1-nn2n1n2C2C2C2122n( )()nnfxfx22(nnN*)61、( 湖北省荆门市2008 届上期末 ) 设函数011233)(23yxbxaxxxf的图像与直线相切于点( 1, 11)。(1)求a,b的值;(2)讨论函数)(xf的单调性。解:( 1)求导得.363)(2baxxxf2
17、分由于0112)(yxxf的图象与直线相切与点( 1, 11),所以.12363,11331,12) 1(,11)1(babaff即5 分解得.3, 1 ba6 分(2)由).3)(1(3)32(3363)(3, 122xxxxbaxxxfba得令.31, 0)(; 31, 0)(xxfxxxf解得又令或解得所以当)(,)1,(xfx时是增函数,8 分当)(,),3(xfx时也是增函数;10 分当)(,)3, 1(xfx时是减函数。62、( 湖北省荆州市2008 届高中毕业班质量检测) 设函数22( )(1)ln(1)f xxx求( )f x的单调区间;若关于x的方程2( )f xxxa在区间
18、0,2上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围。解:定义域为(,1)( 1,),因为12 (2)( )2(1)11x xfxxxx所以,当21x或0 x时,( )0fx当2x或10 x时,( )0fx故( )f x的单调递增区间是( 2,1)和(0,)( )f x的单调递减区间是(, 2)和( 1,0) (6分) (注:0和2处写成“闭的”亦可)由2( )f xxxa得:21ln(1)0 xax,令2( )1ln(1)g xxax,则( )1g x或21( )111xxg xxx所以1x2时,( )0,0gx1x时,( )0gx故( )g x在0,1上递减,在1,2上递增(8 分)精选学习资料
19、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页要使2( )f xxxa在0,2恰有两相异实根,则必须且只需(0)0(1)0(2)0ggg1022ln 2022ln 232ln 332ln 30aaaa即(22ln 2,32ln 3a63、( 湖北省随州市2008 年高三五月模拟) 函数3( )3( ,f xxtxm m t为实常数)是偶函数。求实数m的值;比较()(2)(0)ftftt与的大小;求函数( )yf x在区间2,2上的最大值( )F t。64、 ( 湖北省武汉市武昌区2008 届高中毕业生元月调研测试) 已知函数2lnfxxax
20、在区间( 1,2 上是增函数,g xxa x在区间( 0,1)上为减函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页()试求函数,fxg x的解析式;()当x 0 时,讨论方程2fxg x解的个数 . 解: ()02xaxxf在2, 1x恒成立 , 所以22xa,2a. 又021xaxg在1 ,0 x恒成立 , 所以xa2,2a. 4 分从而有2a. 故xxxfln22,xxxg2. 6 分()令2)()()(xgxfxF, 则xxxxF1122)(xxxxxx)222)(1(所以xF在1 ,0上是减函数 , 在, 1上
21、是增函数 , 9 分从而当0 x时,01minFxF. 所以方程2)()(xgxf在,0只有一个解1x. 12 分65、( 湖南省雅礼中学2008 年高三年级第六次月考) 已知函数0) 1(,ln2)(fxxbaxxf() 若函数f(x) 在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;() 若函数f(x) 的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且211()11nnafnan,已知a1 = 4 ,求证:an 2n + 2 ;() 在() 的条件下,试比较naaaa11111111321与52的大小,并说明你的理由解: (1)xxaaxxfbabafln2)(,0) 1(,xxaaxf2)(2要使函数f
22、(x) 在定义域), 0(内为单调函数,则在),0(内)(xf恒大于 0 或恒小于0,当02)(0 xxfa时,在),0(内恒成立;当时,0a要使01)11()(2aaaxaxf恒成立,则01aa,解得1a,当时,0a02)(2xxaaxf恒成立,所以a的取值范围为0, 1根据题意得:2)11()(, 1,02,0)1(xxfaaaf得即,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页于是121)()11(2221nnnnnnaannanafa,用数学归纳法证明如下:当时,1n21241a,不等式成立;假设当kn时,不等式2
23、2kak成立,即22kak也成立,当1kn时,2) 1(25412)22(1)2(1kkkkaaakkk,所以当1kn,不等式也成立,综上得对所有*Nn时,都有22nan(3) 由 (2) 得121222)1(21)22(1111nnnnnannanaaa,于是)1(211nnaa)2(n,所以)1(21) 1(21),1(2112312nnaaaaaa,累乘得:)2(112111),1(211111naaaannnn则,所以52)211(52)2121211(1111111112121nnnaaaa66、( 湖南省岳阳市2008 届高三第一次模拟)(1) 已知函数m(x) ax2ex (a0
24、), 求证 : 函数ym(x) 在区间 2, ) 上为减函数 . (2) 已知函数f(x) ax22ax, g(x) ex, 若在 (0, ) 上至少存在一点x0, 使得f(x0) g(x0) 成立 , 求实数a的取值范围 . 解:(1) m (x) axex(2x), 而ax0, 当x2 时, m (x) 0, 因此m(x) 在2, ) 上为减函数 . (2) 记m(x) ax22axex , 则m(x) ( ax2 2a)ex, 当x2时, m (x) 0 当 0 x2时, m (x) 0 故m(x) 在x2时取最大值 , 同时也为最大值. m(x)maxm(2) 222 2aae依题意
25、, 要在 (0, ) 上存在一点x0, 使f(x0) g(x0) 成立 . 即使m(x0) 1 只需m(2) 1 即2222aae 1 2212ae , 因此 , 所求实数a的取值范围为(2212e, ) 67、( 黄家中学高08 级十二月月考) 设函数aaxxaxxf其中,86) 1(32)(23R. (1)若3)(xxf在处取得极值,求常数a的值;(2)若)0,()(在xf上为增函数,求a的取值范围 . 【解】: ()).1)(66) 1(66)(2xaxaxaxxf因3)(xxf在取得极值,所以.0)13)(3(6)3(af解得.3a经检验知当)(3,3xfxa为时为极值点 . ()令.
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