数学模型与数学建模(一).doc
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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流数学模型与数学建模(一)【精品文档】第 - 57 - 页前言什么是数学模型,为什么要学习数学模型,数学模型能解决什么问题,怎样学习数学模型以及怎样选写数学模型论文。今天就谈谈这几个问题。我们知道宇宙中的一切,人世间的万事万物都是在不停运动和变化着的,这种变化主要表现为两种形式:一种是形态的变化,另一种是数量的变化。人们要适应这种变化,就要去研究它,了解它和掌握它的变化规律,从而能动地利用它,改造它,使其为我们人类服务。数学模型是研究数量变化规律的一门综合性很强的科学。是应用数学知识去研究事物以及事物之间的数量变化规律;或者反过来,将现实客观中存在的问题,
2、经过分析整理建立起实际问题的内在的或事物与事物之间的数量变化的数学表达式,经过求解数学表达式,寻求它们的数量变化规律,用以解析某些现象,或者预测它未来的发展趋势并能动地利用它和改造它。数学模型就是这样一门科学,它不同于数学,而是介于数学与现实问题之间的一个桥梁,是一门边缘学科。下面就如下几个问题做一简单的探讨。一、什么是数学模型?二、为什么要学习数学模型数学模型能解决什么问题?三、怎样学习数学模型和怎样选写数学模型论文?目录一、什么是数学模型现在我们就讲第一个问题,什么是数学模型。为此,我们先看几个全国大学生数学建模竞赛题:2001年B题公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分,作好公交车的
3、调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益,都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题,其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。该条公交线路上行方向共14站,下行方向共13站,第34页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车,每辆标准载客100 人,据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求,乘客候车时间一般不要超过10分钟,早高峰时一般不要超过5分钟,车辆满载率不应超过 120%,一般也不要低于50%。试根据这些资料和要求,为该线路设计一个便于操作的全天
4、(工作日)的公交车调度方案,包括两个起点站的发车时刻表;一共需要多少辆车;这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益;等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型,指出求解模型的方法;根据实际问题的要求,如果要设计更好的调度方案,应如何采集运营数据。某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表上行方向:A13开往A0站名A13A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1A0站间距(公里)1.60.510.732.041.262.2911.20.411.030.535:00-6:00上3716052437690488385264545110下089132048458132
5、18242585576:00-7:00上1990376333256589594315622510176308307680下0991051642395885428004072083002889216157:00-8:00上3626634528447948868523958904259465454990下0205227272461105810971793801469560636187114598:00-9:00上2064322305235477549271486439157275234600下010612316930063462197144024533940811327599:00-10:00上1
6、18620516614728130417232426778143162360下0817512018140741155125013618723377448310:00-11:00上92315112010821521411921220175123112260下052558113629928044217810515316753238511:00-12:00上95718115713325426413525326074138117300下054588413132129142019611915915353434012:00-13:00上87314114010821520412923222165103112
7、260下046497111126325638916411113414848833313:00-14:00上779141103841861851032111736610897230下03941701032211972971378511311638426314:00-15:00上6251041088216218090185170497585200下036394778189176339139809712038323915:00-16:00上635124988215218080185150498585200下0363957882091963391298010711035322916:00-17:00上
8、1493299240199396404210428390120208197490下0808513519445044173133515725525180055717:00-18:00上2011379311230497479296586508140250259610下0110118171257694573957390253293378122879318:00-19:00上69112410789167165108201194539382220下04548801082372313901508913112542833619:00-20:00上3506455469185508889274847110下02
9、22334631161081968348646620413920:00-21:00上304504336727540776022383790下01617243880841435934464716011721:00-22:00上209373226535529475216282760下0141421337863125623040411289222:00-23:00上193325535513210下03358181727127993221某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表下行方向:A0开往A13站名A0A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13站间距(公里)1.5610.441.20
10、.972.291.320.7310.51.625:00-6:00上22342443331100下02116775342396:00-7:00上795143167841511881091371304553160下070404018420519514793109751082717:00-8:00上2328380427224420455272343331126138450下02941561577107808495453744442653739588:00-9:00上2706374492224404532333345354120153460下026615814975682785652936742823
11、737611679:00-10:00上15562042741252353081622031987699270下01571008041051149833619927613621955610:00-11:00上902147183821552061201501435059180下010359592463463201911471859615443811:00-12:00上847130132671271501081041074148150下09448481992382561751221436812834612:00-13:00上70690118661051449295883440120下07040401
12、74215205127103119659826113:00-14:00上7709712659102133971021043643130下0754343166210209136901276011530914:00-15:00上839133156691301651011181204249150下08448482192382461551121537811834615:00-16:00上1110170189791691941411521665464190下0110736325330734121513616710214442516:00-17:00上183726033014630540422927725
13、395122340下01759610645961754940126630416226978417:00-18:00上3020474587248468649388432452157205560下03301931947379341016606416494278448124918:00-19:00上1966350399204328471289335342122132400下0223129150635787690505304423246320101019:00-20:00上939130165881381871241431474856170下0113595926630629020114715586154
14、39820:00-21:00上6401071266911215387102943643130下075434318623021914690127709531921:00-22:00上636110128561051448295983440120下07341421902431921321071236710129022:00-23:00上2944351244658354142151750下0352020871089269476033491362001年C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金,打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次,发行时
15、间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额大致相同,且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案,并对M=5000万元,n=10年给出具体结果:1、只存款不购国库券;2、可存款也可购国库券;3、学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆,基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。银行存款税后年利率(%)国库券年利率(%)活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.142002年A题车灯线光
16、源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题:(1)在满足该设计规范的
17、条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3)讨论该设计规范的合理性。2002年B题彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组09号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从04号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码(可重复),从04中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+
18、g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。表一中奖等级10选6+1(6+1/10)基本号码特别号码说明一等奖Abcdefg选7中(6+1)二等奖abcdef选7中(6)三等奖abcdeXXbcdef选7中(5)四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中(4)五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中(3)六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中(2)“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从0133个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注
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