2022年三角函数的图像 .pdf
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1、三角函数的图像考点回顾:三角函数图象:ytanx ycotx函数 y Asin( x )的物理意义:振幅 |A| , 周期2|T, 频率1|2fT, 相位;x初相(即当 x0 时的相位)(当A0, 0 时以上公式可去绝对值符号),三角函数图象的作法:1.几何法(利用三角函数线)2. 描点法:五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).3.利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数yAsin( x )+b(0,0A)的作法(1)振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换 (用 y/A(A0)替换 y)由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变
2、,纵坐标伸长(当A1)或缩短(当0A1)到原来的A 倍,得到yAsinx 的图象 . (2)周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换(用 x(0)替换 x)由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0 1)或缩短(1)到原来的1倍,得到ysin x 的图象 . (3)相位变换或叫做左右平移(用 x替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左(当 0)或向右(当 0)平行移动 个单位,得到ysin(x )的图象 . (4)上下平移(用y+(-b) 替换 y)由 ysinx 的图象上所有的点向上(当b0)或向下(当 b 0)平行移动b个单位,得到ysinxb 的图象 . 注意:由ysin
3、x 的图象利用图象变换作函数yAsin( x )+B(A0, 0)(xR)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x 轴的伸缩量的区别。y=cosxy=sinx-11-11ooyxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 例 1: 函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示, 则函数表达式为 ()A)48sin(4xyB)48sin(4xyC)48sin(4xyD)48sin(4
4、xy答案: A 变式1:函数), 0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示,则函数表达式为_ 答案:)23sin(3xy变式2:函数),0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示,则函数表达式为_ 答案:)62sin(2xy变式 3: 函数),0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示,则函数表达式为_ 答案:)32sin(3xy说明: 主要从振幅、 周期、某点的函数值三个方面考虑,其中变式3 要注意 1.5 不是最高点。例 2、 已知函数y=21cos2x+23sinxcosx+1 (xR), (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x R)
5、的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解: (1)y=21cos2x+23sinxcosx+1=41(2cos2x1)+ 41+43(2sinxcosx)+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2xsin6+sin2xcos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时,只需2x+6=2+2k,(kZ) ,即x=6+k,(kZ) 。所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为 x|x=6+k,kZ (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:(i)把函数 y=sinx 的图像上所有的点向左平移6,得到函数y=sin(x+6)的图像;663 -3 x y 3651
6、.5 x y O 1272 -2 1 x y O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短为原来的21(纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+6)的图像;( iii ) 把得到 的图像 上各 点纵坐 标缩短 为 原来的21( 横坐 标不变) ,得到函数y=21sin(2x+6)的图像;(iv)把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像
7、。综上得到 y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图像。说明: 本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成y=22basin (x+)+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0 时, y=1;当 cosx0 时,y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1 化简得: 2(y1)tan2x3tanx+2y 3=0 tanxR, =38(y1)(2y3) 0,解之得:43y4
8、7ymax=47,此时对应自变量x 的值集为 x|x=k +6,kZ 变式 1:.已知函数23cossincos22xxbxaxf)(,且230)(f,214)(f. (1)求)(xf(2)函数)(xf的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数?.解: (1)1,23ba,)()(32sinxxf(2)右移k6(Zkk,0)个单位或左移|6|k(Zkk,0)个单位。变式 2:已知函数f(x)=2cos(2x+6) 若将( )fx的图象向左平移3后,再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍,得到函数( )g x的图象,试写出( )g x的解析式 . 解: f(x)=2cos(2x+6)6
9、52cos(23xy向左平移名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - )654cos(221xy倍横坐标缩小到原来的g(x)=2cos(4x+65). 例 3:已知函数y3sin3x(1)作出函数在x6,56上的图象(2)求(1)中函数的图象与直线y3 所围成的封闭图形的面积答案: (1)略(2)2例 4:求函数|sin|xy与|log|28xy有多少个交点。答案: 18 个, (利用图像) 。例 5: 设0,若)sin
10、(2)(xxf在区间4,3上单调递增,则的取值范围为_ 解,)(xf的包含 0 的单调增区间为2,22423, 23,0例 6:函数)sin(xy在区间1 ,0上至少出现2 个最大值,则的最小值为 _ 解:由图象,145T,故25变式: 函数)0)(sin(xy,对任意Ra,在区间1,aa上,至少出现2 个最大值,并且存在实数a,使得函数在区间1,aa上只有 2 个最大值,则的范围为 _ 解:由图知,TT312,故64例7: 如 图 , 表 示 电 流 强 度I与 时 间t的 关 系 式),0, 0)(sin(AtAI在一个周期内的图象,试根据图象写出)sin(tAI的解析式;为了使)sin(
11、tAI中 t 在任意一段1001秒的时内I 能同时取最大值|A| 和最小值 |A| ,那么正整数的最小值为多少?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 解: (1)由图可知 :300A,周期 T=501)3001(60110022TT当3)3001(100,03001ttt即时故图象的解析式为:)3100sin(300tI(2)要使 t 在任意一段1001秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T1001即3.628200
12、10012由于为正整数 ,故的最小值为629 例 8:已知在ABC中,tA)6sin((1)当22t时,求A值; (2)当t为何值时,A总有两个不同的值。解: (1),0A,67,66A,22)6sin( A46A,或436A12A,或127A(2)作xysin在67,6上的图像,则可知当1 ,21t,A总有两个不同的值。例 9:如图,函数y=2sin(x+ ),xR,(其中 02)的图象与y 轴交于点( 0,1). ()求的值;()设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求.的夹角与PNPM解: (I)因为函数图像过点(0,1),所以2sin1,即1sin.2因为02,所以
13、6. (II )由函数2sin()6yx及其图像,得1MNPoyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - )0 ,65(),2,31(),0 ,61(NPM所以)2,21(PM,)2,21(PN从而cos,| |PM PNPM PNPMPNuu uu r u uu ruu uu r uu u ruuu u ruuu r1517,故,PM PNuuu u r uu u r15arccos17. 实战训练1、函数,|,|s
14、inxxxy的大致图象是()y y y y - o x - o x - o x - o x - - -(A) (B) (C) (D) 2、函数xysin与xytan的图象在区间),(2上的交点有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个3、已知)(xf是定义在)3 ,3(上的奇函数,当30 x时,)(xf的图象如图所示,那么不等式0cos)(xxf的解集是()y (A) )3,2()1 ,0()2,3(B) )3,2()1 ,0()1,2(0 1 2 3 x (C) )3 ,1 ()1 , 0() 1,3(D) )3 , 1()1 ,0()2,3(4、图 04 是函数 y =2 si
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