第6章数列与数学归纳法6163.doc
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1、第6章 数列与数学归纳法 考情分析六年考情分析考查内容2009年2010年2011年2012年2013年2014年数列的有关概念理/文第18题(约3分)理第17题(约5分)等差数列理第12题/文第13题(约3分)理/文第23题(1)(约5分)理第10题/文第12题(约3分)理第22题/文第23题(约18分)理第10题(约2分)文第2题(4分)文第22题/理23(3)(约8分)理23题(3)文23题(3)等比数列理/文第23题(2)(约5分)理第20题(约13分)文第21题(约14分)理第18题(约5分)文第22题(2)(约2分)理23题(2)文23题(2)简单的递推数列文第14题(约4分)文第
2、22题(1)(约3分)理第23题(1)(2)(约4分)数列的极限理第11题(约4分)文第14题(约4分)文第2题(约4分)理第14题(约4分)理第1题(4分)文第18题(约3分)无穷等比数列各项的和理第6题/文第7题(约4分)理第8题文第10题(约4分)数列的实际应用问题(含新定义、综合题)理/文第23题(3)(约8分)理/文第23题(约18分)数学归纳法归纳猜测论证总分文约21分理约21分文约21分理约20分文约22分理约27分文约29分理约25分文约20分理约23分文约19分理约19分考点解读1 一般数列(1)定义:在正整数集或其子集上的一个函数,当自变量从1开始连续取值时,相应的函数值排
3、成的一列数,就是数列数列的特征:有规律;有次序;可重复(与集合中的元素不同)(2)通项公式和递推公式通项公式:数列的第项与项数之间的关系,能用一个公式表示时这个公式叫做数列的通项公式【注意】不是每一个数列都能写出通项公式的,如的不足近似值:; 一个数列的通项公式可以有多种形式,如,可以写成,也可以写成等; 仅给出前几项,不能确定这个数列的通项公式.如1,3,5,7,可以写成,也可以写成,通常只要求写出一个较简单的公式.递推公式:数列中的项可用前一项或前相邻几项表示的一个公式,叫做数列的递推公式递推公式主要类型有:(等差数列);(时等比数列);(类等差数列),通过累加法,可求出通项公式;(类等比
4、数列)通过构造可求出通项公式(3)前项的和与通项的关系:这个公式在求通项公式和证明时经常用到2 常用数列:等差数列、等比数列等差数列等比数列定义递推公式;通项公式求和公式中项公式 推广:2=推广:性 质1若则 若,则2若成等差数列(其中)则也为等差数列若成等差数列 (其中),则成等比数列3、是公差分别为,的等差数列,则也是等差数列、是公比分别为,的等比数列,则也是等比数列4、是公差分别为,的等差数列,若它们的相同项也组成一个新的数列,则也是等差数列,公差为,的最小公倍数等比数列前n项乘积记作,则成等比数列5 成等差数列(和不为零)成等比数列6 , 【补充】等差数列的其他性质: 若两个等差数列和
5、,它们的前项和分别为和,则; 若等差数列的项数为,则; 若等差数列的项数为,则; 在等差数列中,若 则 ; 在等差数列中, 前项和为若则 ; 在等差数列中, 前项和为若则.【注意】等差数列: (可为零也可不为零为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)若不为0,则是等差数列充分条件); 等差前n项和可以为零也可不为零为等差的充要条件若为零,则是等差数列的充分条件;若不为零,则是等差数列的充分条件; 当时,是单调递增的,当时,是单调递减的; 非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)【注意】等比数列: 等比中项:任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac0,则等比
6、中项一定有两个 通项公式法:验证(为非零常数). 前项和公式: 等比数列中,若,则数列是单调递增的;若,则数列是单调递减的;若,则数列是常数列;若,则数列是摆动数列. 正数列成等比的充要条件是数列()成等差数列.(类比思想)3几种数列的思想方法:(1)数列通项公式的常见求法(2)数列前项和的常见求法(3)在等差数列中,有关的最值问题:等差数列的前项和为,在时,有最大值 如何确定使取最大值时的值,有两种方法:一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值时,满足的项数使得取最大值当时,满足的项数使得取最小值求使成立的值在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用4 常用公式: ; ; 5
7、 数学归纳法(1)由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫归纳法,它能帮助我们发现一般规律;观察、归纳、猜想、证明,是发现数学规律的完整过程,其中证明是指用数学归纳法证明(2)应用数学归纳法有两个步骤:证明当取第一个时结论正确; 假设当()时,结论正确,证明当时,结论成立这两步缺一不可,要完整地书写(3)用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题,如数列求和公式,整除性和平面几何问题6 数列的极限(1)数列极限的含义:一个数列中的项,当无限增大时,它无限地接近于某个常数,即能小于任意给定的正数时,称为数列的极限,记作(2)数列极限的四则运算法则:如果,那么 特别地,如果C是常数,那
8、么(3)三个基本极限:(为常数) 对于任意实常数,当时,【注意】它们是极限运算的基础,但是要区别,如果是收敛的等比数列的公比时,当时,若,则;若,则不存在当时,不存在(4)计算数列极限的类型还有两种:根式型,分式型注意它们的运算特点 (5)数列极限的应用:无穷等比数列的各项和:当公比时,无穷等比数列称为无穷递缩等比数列我们把的无穷等比数列的前项的和,当时的极限叫做无穷等比数列的各项和,并用符号表示(),(可用于化循环小数为分数和解相应的应用题,这时关键是找出等比数列及其首项和公比,然后代入公式计算)【注意】 并不是每一个无穷数列都有极限; 一个无穷等比数列,只有公比满足时,才有无穷项的和;反之
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