2022年空间向量与立体几何知识点归纳总结 2.docx
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1、精品_精品资料_空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点.1. 空间向量的 概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量.注:(1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.(2)向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算.定义:与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律: 加法交换律: abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加法结合律:数乘安排律:ab caababc b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算法就 :三角形法就、平行四边形法就、 平行六面体
2、法就3. 共线向量.(1) 假如表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合 ,那么这些向量也叫做共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作a / b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 共线向量定理 :空间任意两个向量 a 、b( b 0 ), a / b 存在实数 ,使a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 三点共线 :A、B、C 三点共线 AB OCACxOAyOB其中 xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) )与 a 共线的单位向量为aa4. 共面对量(1) 定义:一
3、般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量.说明:空间任意的 两向量都是共面 的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 共面对量定理 :假如两个向量x, y 使 pxayb .a, b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件是存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) ) 四点共面:如 A 、B、C、P 四点共面 APx ABy AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OPxOAyOBzOC其中xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
4、_5. 空间向量基本定理 :假如三个向量a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个唯独的有序实数组x, y, z ,使 pxaybzc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如三向量a,b,c不共面,我们把 a,b,c叫做空间的一个 基底,a, b, c 叫做基向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论: 设O,
5、 A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数x, y, z ,使OPxOAyOBzOC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 空间向量的直角坐标系:(1) 空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 x,y, z ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAxiyizk,有序实数组 x,y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作A x, y, z , x 叫横坐标
6、, y 叫纵坐标, z叫竖坐标.注:点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z. 即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反.在y 轴上的点设为0,y,0,在平面 yOz中的点设为 0,y,z(2) 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1 ,这个基底叫单位 正交基底,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 i ,j , k表示.空间中任一向量 axiy jzk=( x,y,z)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) )空间向量的直 角坐标运算律:可编辑资料 - - - 欢迎下载精
7、品_精品资料_如 aa1,a2 , a3 , bb1,b2 ,b3 ,就 aba1b1, a2b2 , a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1b1, a2b2 , a3b3 , a a1,a2,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a / ba1aba1b1b1, a2 a2b2b2, a3 a3b30 .b3 R ,可编
8、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A x1,y1, z1 ,Bx2 ,y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 定比分 点公式: 如A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2, z2 , APPB , 就点 P 坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x11x2 , y11y2 , z11z2 .推导:设 P(x,y,z)就 xx1, yy1,zz1x2x,y2y
9、,z2z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,当 P 为 AB 中点时,P x1x2 , y12y2 , z12z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC中, A(x1, y1, z1), B x2, y2, z2,C x3, y3, z3, 三 角 形 重 心P坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x1x2 3x3 , y1y22y3 , z1z2z3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC的五心:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点.AP外心 P:外接圆的圆心
10、,中垂线的交点.PA ABACABACPBPC (单位向量)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂心 P:高的交点: PA PBPA PCPBPC (移项,内积为 0,就垂直)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) 中心:正三角形的全部心的合一.AP1 AB 3AC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221232(4) 模长公式 :如aa1, a2 , a3 , bb1, b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品_精品资料_就| a |a aa 2a 2a 2, |b |b bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123(5) 夹角公式:cos a ba ba1b1a2b2a3b3222.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | | b |aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC中 ABAC0 A 为锐角 ABAC0 A为钝角,钝角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 两点间的距离公式:如A x1, y1,
12、z1 , Bx2, y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就| AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212121或dxx 2 yy 2zz 2A ,B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 空间向量的数量积.( 1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAa,OBb, 就 A O B叫 做 向 量 a 与 b 的 夹 角 , 记 作a, b. 且 规 定
13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a,b,明显有a, bb, a.如a, b,就称 a 与b 相互垂直,记作:ab .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 向量的模:设 OAa ,就有向线段 OA的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 向量的数量积:已知向量a, b ,就 | a| | b| cosa, b叫做a,b 的数量积,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作a b ,即 a b|a| |b | cos a,b.(4) 空间
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