2022年数列知识点总结及题型归纳 2.pdf
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1、数列一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na,在数列第一个位置的项叫第1 项(或首项),在第二个位置的叫第2 项,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作na;数列的一般形式:1a,2a,3a,na,简记作na。(2)通项公式的定义:如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如:1,2,3,4,5,:514131211,说明:na表示数列,na表示数列中的第n项,na=fn表示数列的通项公式;同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,na=(1)n=1,21()1,2nkkZn
2、k;不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,(3)数列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数()f n当自变量n从 1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff,()f n,通常用na来代替fn,其图象是一群孤立点。(4)数列分类:按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(
3、4)a,a,a,a,a,(5)数列 na 的前 n 项和nS与通项na的关系:11(1)(2)nnnSnaSSn二、等差数列(一)、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n例:等差数列12nan,1nnaa(二)、等差数列的通项公式:1(1)naand;说明:等差数列(通常可称为A P数列)的单调性:d0为递增数列,0d为常数列,0d为递减数列。例:1.已知等差数列na中,12497116aaaa,则,等于()A
4、15 B30 C 31 D 64 2.na是首项11a,公差3d的等差数列,如果2005na,则序号n等于(A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3.等差数列12,12nbnann,则na为nb为(填“递增数列”或“递减数列”)(三)、等差中项的概念:定义:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa,A,b成等差数列2abA即:212nnnaaa(mnmnnaaa2)例:1(06 全国 I)设na是公差为正数的等差数列,若12315aaa,12380a a a,则111 213aaa()A120 B105C90 D75(四)、等差数列的性质:(1)在等
5、差数列na中,从第2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列na中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)在等差数列na中,对任意m,nN,()nmaanm d,nmaadnm()mn;(4)在等差数列na中,若m,n,p,qN且mnpq,则mnpqaaaa;(五)、等差数列的前n和的求和公式:11()(1)22nnn aan nSnadnda)(2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列 )递推公式:2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例:1.如果等差数列na中,34512aaa,那么127.aaa(A)14 (B)21 (C)28 (D)35 2
6、.(2009 湖南卷文)设nS是等差数列na的前 n 项和,已知23a,611a,则7S等于()A 13 B35 C49 D 63 3.(2009 全国卷理)设等差数列na的前n项和为nS,若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5.已知等差数列na的前n项和为nS,若118521221aaaaS,则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 6 页 -6.(2009 全国卷理)设等差数列na的前n项和为nS,若535aa则95SS7.
7、已知na数列是等差数列,1010a,其前 10 项的和7010S,则其公差d等于()3132BA C.31 D.328.(2009 陕西卷文)设等差数列na的前 n 项和为ns,若6312as,则na9(00 全国)设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列nSn的前n项和,求Tn。(六).对于一个等差数列:(1)若项数为偶数,设共有2n项,则S偶S奇nd;1nnSaSa奇偶;(2)若项数为奇数,设共有21n项,则S奇S偶naa中;1SnSn奇偶。1.一个等差数列共2011 项,求它的奇数项和与偶数项和之比_ 2.一个等差数列前20 项和为 75,其中奇数项
8、和与偶数项和之比1:2,求公差 d 3.一个等差数列共有10 项,其偶数项之和是15,奇数项之和是225,则它的首项与公差分别是_(七).对与一个等差数列,nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例:1.等差数列 an的前m项和为 30,前 2m项和为 100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前n项的和为48,前 2n项的和为60,则前 3n项的和为。3已知等差数列na的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为4.设nS为等差数列na的前n项和,971043014SSSS,则,=5(06 全国 II)设Sn
9、是等差数列an的前n项和,若36SS13,则612SSA310B13 C18D19(八)判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:)常数)(Nndaann(1na是等差数列中项法:)221Nnaaannn(na是等差数列通项公式法:),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法:),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例:1.已知数列na满足21nnaa,则数列na为()A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na的通项为52nan,则数列na为()A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3.已知一
10、个数列na的前 n 项和422nsn,则数列na为()A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4.已知一个数列na的前 n 项和22nsn,则数列na为()A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5.已知一个数列na满足0212nnnaaa,则数列na为()A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6.数列na满足1a=8,022124nnnaaaa,且(Nn)求数列na的通项公式;7(01 天津理,2)设Sn是数列 an的前n项和,且Sn=n2,则 an是()A.等比数列,但不是等差数列 B.
11、等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值(1)10a,0d时,nS有最大值;10a,0d时,nS有最小值;(2)nS最值的求法:若已知nS,nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值;可用二次函数最值的求法(nN);或者求出na中的正、负分界项,即:若已知na,则nS最值时n的值(nN)可如下确定100nnaa或100nnaa。例:1等差数列na中,12910SSa,则前项的和最大。2设等差数列na的前n项和为nS,已知001213123SSa,求出公差d的范围,指出1221SSS,中哪一个值最大,并说明理由。3(02 上海)设an(
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