曲面与曲线二次曲面讲稿.ppt
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1、关于曲面与曲线二次曲面第一页,讲稿共一百零一页哦水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义:曲面方程的定义:曲面的实例:曲面的实例:一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念如果曲面如果曲面 与三元方程与三元方程0),(zyxF有下述关系:有下述关系:(1)曲面曲面 上任一点的坐标都满足方程;上任一点的坐标都满足方程;那那么么,方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面 的的方方程程,而而曲曲面面 就就叫叫做做方方程程的的图图形形.(2)不不在在曲曲面面 上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足
2、方方程程;第二页,讲稿共一百零一页哦第三页,讲稿共一百零一页哦由几何特征确定曲面方程由几何特征确定曲面方程例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为 R 的的球球面面方方程程.2202020Rzzyyxx 特殊地:特殊地:球心在原点时方程为球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求求与与原原点点 O 及及)4,3,2(0M的的距距离离之之比比为为1:2 的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.911634132222 zyx第四页,讲稿共一百零一页哦例例 3 3 已已知知)3,2,1(A,)4,1,2(B,求求线线段段AB的的垂垂直直平平
3、分分面面的的方方程程.07262 zyx研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题:(1)已知曲面作为满足某些条件的点集,求曲面方程;已知曲面作为满足某些条件的点集,求曲面方程;(2)已知曲面方程,研究曲面形状已知曲面方程,研究曲面形状.第五页,讲稿共一百零一页哦二、柱面与旋转曲面二、柱面与旋转曲面1、柱面、柱面(cylinder)播放播放观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线C 叫叫柱面的柱面的准线准线,动直,动直线线 L 叫柱面的叫柱面
4、的母母线线.第六页,讲稿共一百零一页哦第七页,讲稿共一百零一页哦例如:例如:222)1(Ryx 圆柱面圆柱面)0(2)2(2 ppyx抛物柱面抛物柱面 1)3(2222 byax椭圆柱面椭圆柱面第八页,讲稿共一百零一页哦(4)平面平面 xy 第九页,讲稿共一百零一页哦柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面第十页,讲稿共一百零一页哦从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征:(其他类推)(其他类推)实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面x12222 byax双曲柱面双曲柱面zpzx22 抛物柱面抛物柱面y 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(y
5、xF,在,在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面,其准线为面,其准线为xoy面上曲线面上曲线 00),(:zyxFC.母线母线/轴轴 母线母线/轴轴 母线母线/轴轴第十一页,讲稿共一百零一页哦 例例 指出下列方程在平面解析几何中和空间解指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形?析几何中分别表示什么图形?;2)1(x;4)2(22 yx.1)3(xy第十二页,讲稿共一百零一页哦解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在
6、)0,0(,半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程第十三页,讲稿共一百零一页哦2、旋转曲面(、旋转曲面(surface of revolution)定义定义 平面上的曲线平面上的曲线C C绕该平面上的一条定绕该平面上的一条定直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴,曲线曲线C称为称为母线母线.播放播放第十四页,讲稿共一百零一页哦例如:球面例如:球面1222 zyx第十五页,讲稿共一百零一页哦xozy0),(zyf),0(11zy
7、M ),(zyxM,),(zyxM在曲面上任取点在曲面上任取点22yxd ,0),(1221 zyfyxy代代入入将将,0),(11 zyfM 满满足足点点d点点M到到z轴的距离轴的距离|1y C,0),(,zyfyozC方程为方程为面上的一条曲线面上的一条曲线为为设设.的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程轴旋转一周而得轴旋转一周而得绕绕求求zC,0),(22 zyxf得方程得方程 yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕绕z轴旋转一周的轴旋转一周的旋转旋转曲面方程曲面方程.第十六页,讲稿共一百零一页哦 yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 z 轴轴旋转一周旋转一
8、周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf.0),(22 zyxf yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 y 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 00),(xzyf.0),(22 zxyf第十七页,讲稿共一百零一页哦.0),(22 yzxfxoy坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0,0),(zyxf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程:.0),(22 zyxfxoy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0,0),(zyxf绕绕x轴旋转一轴旋转一周的旋转曲面方程周的旋转曲面方程:第十八页,讲稿共一百零一页哦0),(22 zyx
9、fzox坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0,0),(yzxf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程:.0),(22 zyxfzox坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线 0,0),(yzxf绕绕x轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程:第十九页,讲稿共一百零一页哦例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程旋转曲面的方程(1)双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕 x 轴轴和和 z 轴轴;绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx双叶旋转双曲面双叶旋转双曲
10、面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面第二十页,讲稿共一百零一页哦双叶双曲面双叶双曲面zyxO单叶双曲面单叶双曲面 xyoz122222 czyax122222 czayx第二十一页,讲稿共一百零一页哦(2)椭圆)椭圆 012222xczay绕绕 y 轴和轴和 z 轴;轴;绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面第二十二页,讲稿共一百零一页哦ozyx第二十三页,讲稿共一百零一页哦(3)抛抛物物线线 022xpzy绕绕 z 轴轴;pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面zxyoxyzo0 p0 p第二十四页,讲稿共一百零一页哦例例5 5 下列方
11、程所表示的曲面是否是旋转曲面,若下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面,若是,指明其是如何形成的是,指明其是如何形成的.1)1(22 zyx1)2(2 zyx给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面,及旋转曲面是如何形成的及旋转曲面是如何形成的.第二十五页,讲稿共一百零一页哦例例 6 6 直线直线 L 绕另一条与绕另一条与 L 相交的直线旋转一相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫周,所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫两直线的交点叫圆锥面的圆锥面的顶点顶点,两直线的夹角,两直线的夹角 20叫叫圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角 xozy),0(111zyM),(zy
12、xMoxzy 试建立顶点在坐标原点,试建立顶点在坐标原点,旋转轴为旋转轴为 z 轴,半顶角轴,半顶角 为为 的圆锥面方程的圆锥面方程 第二十六页,讲稿共一百零一页哦xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为(0),tan()=cot2zky kk其中),0(111zyM),(zyxM绕绕z轴旋转,故圆锥面方程为轴旋转,故圆锥面方程为oxzy)(2222yxkz cot k第二十七页,讲稿共一百零一页哦圆锥面圆锥面222zyx 第二十八页,讲稿共一百零一页哦 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线程
13、,满足方程的点都在曲线上(不在曲线上的点不能同上(不在曲线上的点不能同时满足两个方程)时满足两个方程).xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点:三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程第二十九页,讲稿共一百零一页哦空间曲线空间曲线第三十页,讲稿共一百零一页哦例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线?表示怎样的曲线?6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面,表示圆柱面,6332 zyx表示平面,表示平面,6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.第三十一页,讲稿共一百零一页哦例例2 2 方
14、程组方程组 表示怎样的曲线?表示怎样的曲线?4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.第三十二页,讲稿共一百零一页哦 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时,就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx,随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程第三十三页,讲稿共一百零一页哦 动点从动点从A点出发点出发,经过,经过t时间,运动到时间,运动到M点点 例例 4 4 如如果果空
15、空间间一一点点 M在在圆圆柱柱面面 x2+y2=a2上上以以角角速速度度 绕绕 z 轴轴旋旋转转,同同时时又又以以线线速速度度 v沿沿平平行行于于 z 轴轴的的正正方方向向上上升升(其其中中、v 都都是是常常数数),那那么么点点 M构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线试试建建立立其其参参数数方方程程 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数,为参数,解解xyzo 第三十四页,讲稿共一百零一页哦螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt
16、 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质:,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 第三十五页,讲稿共一百零一页哦 0),(0),(zyxGzyxF如何将曲线如何将曲线 的一般方程:的一般方程:(*)化为参数方程?化为参数方程?(1)(1)先从一般方程先从一般方程(*)中消去某个变量,比如中消去某个变量,比如z,得方,得方程程H(x,y)=0)=0,写出该方程在,写出该方程在xOy面的参数方程面的参数方程x=x(t),y=y(t).).再把再把x=x(t),y=y(t)代入代入(*)中的某个方程解出中的某个方程
17、解出z=z(t),最后在确定,最后在确定t的变化区间,就得到了曲线的参数方的变化区间,就得到了曲线的参数方程程.01222zyxzyx例例5 5、把曲线、把曲线 用参数方程表示用参数方程表示.第三十六页,讲稿共一百零一页哦(2)(2)在一些特殊情形,在一些特殊情形,(*)中的某个方程是不完全中的某个方程是不完全三元方程三元方程(即方程中缺了一个未知量即方程中缺了一个未知量),则可先将这个,则可先将这个方程化为参数方程,再将所得结果代入方程化为参数方程,再将所得结果代入(*)中的另中的另一个方程,即可求得曲线的参数方程一个方程,即可求得曲线的参数方程.1122zyxyx例例6 6、将曲线、将曲线
18、 化为参数方程化为参数方程.第三十七页,讲稿共一百零一页哦 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得:后得:0),(yxH曲线曲线 对对 xOy面面的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线 的一般方程为:的一般方程为:投影柱面的投影柱面的特征特征:以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线以空间曲线 为准线,母线垂直于为准线,母线垂直于 xOy 面的柱面叫面的柱面叫做做曲线对曲线对 xOy 面面的的投影柱面投影柱面 00),(zyxH空间曲线空间曲线 在在xOy面上的面上的
19、投影曲线投影曲线第三十八页,讲稿共一百零一页哦投影曲线的研究过程的例子投影曲线的研究过程的例子.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面第三十九页,讲稿共一百零一页哦0),(zyR0),(zxT曲线曲线 在在 yoz 面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线:曲线曲线 在在 zox面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线:00),(xzyR 00),(yzxT类似地:可定义空间曲线类似地:可定义空间曲线 :在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.0),(0),(zyxGzyxF第四十页,讲稿共一百零一页哦 xzyxz22:22 例例1 求曲
20、线求曲线 在在 xoy 面的投影柱面面的投影柱面 及投影曲线方程及投影曲线方程.1)1()1(1:222222zyxzyx 例例2 求曲线求曲线 在在 xoy 面及面及 yoz 面的投影曲线方程面的投影曲线方程.第四十一页,讲稿共一百零一页哦 0162222222zyxzyx例例3以曲线以曲线 为准线为准线,母线平母线平 行于行于z 轴的柱面方程轴的柱面方程.第四十二页,讲稿共一百零一页哦例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解(1)消去变量)消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx第四十三页,讲稿共
21、一百零一页哦所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz(3)同理在)同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz(2)因为曲线在平面)因为曲线在平面 上,上,21 z第四十四页,讲稿共一百零一页哦例例 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,第四十五页,讲稿共一百零一页哦(2)消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx(3)消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy(1)
22、消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx第四十六页,讲稿共一百零一页哦空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面第四十七页,讲稿共一百零一页哦五、空间区域在坐标面上的投影五、空间区域在坐标面上的投影例例1.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 ,)(3,4:2222yxzyxzC,122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去第四十八页,讲稿共一百零一页哦面上的投影曲线为面上的投影曲线为在在则交线则交
23、线xoyC .0,122zyx一个圆一个圆,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy .0,122zyx第四十九页,讲稿共一百零一页哦求两曲面所围立体求两曲面所围立体(即空间区域即空间区域)在坐标面的投在坐标面的投影区域的一般方法:影区域的一般方法:(1)求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程,方程,(2)将将(1)中所得方程与坐标面方程联立,得两曲面中所得方程与坐标面方程联立,得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程,的交线方程在坐标面的投影曲线方程,(3)投影曲线在坐标面所围成的闭区域投影曲线在坐标面所围成的闭区域.第五十页,讲稿共一百零一
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