第二章:控制理论的数学模型.ppt
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1、第二章:控制理论的数学模型,南京工程学院 先进数控技术江苏省高校重点实验室 汪木兰 付肖燕 (E-mail:) (QQ:315136764) 2013年03月,第二章:控制理论的数学模型,一、什么叫数学模型? 二、为什么要建立数学模型? 三、数学模型的种类? 四、如何求数学模型?,第二章:控制理论的数学模型,一、数学模型,是指系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 二、建立数学模型,有助于对系统从理论上进行性能分析。反之,设计系统时,可以先设计数学模型,然后根据数学模型设计实际系统。,第二章:控制理论的数学模型,三、数学模型种类:
2、 1、时域的数学模型:微分方程 2、复数域数学模型:传递函数 3、结构模型:传递函数的方块图 4、频率域的数学模型:频率特性方式,第二章:控制理论的数学模型,四、数学模型的求法: 1.解析法 2.经验法 3.实验法,第二章:控制理论的数学模型,章节安排 2-1 系统的微分方程 2-2 非线性数学模型的线性化 2-3 拉氏变换与反变换 2-4 传递函数 2-5 传递函数的方块图与运算,2-1 系统的微分方程,一、线性系统微分方程的标准形式:,系统输入。,式中: 系统输出 ;,2-1 系统的微分方程,2-1 系统的微分方程,二、微分方程的列写步骤 1分析系统工作原理,找出输入、输出及中间变量的关系
3、; 2从系统输入端开始,依次列写出各元件(环节)的运动方程; 3将各运动方程构成微分方程,消去中间变量。 4.化成标准形式(输出量和输入量的各导数项按降阶排列),2-1 系统的微分方程,三、例题 例2-1 动力滑台:质量弹簧阻尼系统,2-1 系统的微分方程,例2-2 R-L-C电路,2-1 系统的微分方程,例2-3,2-1 系统的微分方程,四、小结 1.比较例2-1至例2-4,物理本质不同的系统,可以有相似的数学模型。反之,同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 2.从控制论角度,可以抛开系统的物理属性,对系统的数学模型进行分析研究。 3.掌握系统微分方程的列些方法 4.作业:2-2,2
4、-2 非线性数学模型的线性化,非线性 现象,2-2 非线性数学模型的线性化,线性化方法 1、忽略弱的非线性因素 2、小偏差法:泰勒展开,2-3 拉氏变换与反变换,一、拉氏变换的意义 1.拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量S的乘积,将时间表示的微分方程,变成以S表示的代数方程(传递函数)。 2.有了拉氏变换,才有了传递函数,我们就可以用传递函数的零极点以及频率特性对系统进行分析。,2-3 拉氏变换与反变换,二、拉氏变换的定义 函数 在 时有定义,且 在任一有限区间上 是连续的或至少是分段连续的,则函数 的拉氏变 换定义为 ,其中 称为函数
5、的拉氏变换,记为 称为 的原函数; 称为 的象函数。,2-3 拉氏变换与反变换,三、拉氏反变换的定义 已知 ,欲求原函数 时,则称为拉氏 反变换。记为 即,2-3 拉氏变换与反变换,四、典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数,2-3 拉氏变换与反变换,2.指数函数,2-3 拉氏变换与反变换,3.正弦函数和余弦函数 正弦函数: 余弦函数:,2-3 拉氏变换与反变换,4.单位脉冲函数 5. 单位斜坡函数,2-3 拉氏变换与反变换,6.单位抛物线函数 7.幂函数,2-3 拉氏变换与反变换,五、拉氏变换主要性质(定理) 1.叠加性质 (1)齐次性 例:,2-3 拉氏变换与反变换,(2)叠加性 例:,2-
6、3 拉氏变换与反变换,2.微分定理 若 , 则 ; 当 , 有,2-3 拉氏变换与反变换,例:利用微分定理求 由于,2-3 拉氏变换与反变换,3.积分定理 若 ,则 例,2-3 拉氏变换与反变换,4.延迟定理(时间域的位移),2-3 拉氏变换与反变换,例1 例2,2-3 拉氏变换与反变换,5.复数域的位移定理(位移性) 若 ,则 或 例1: 例2:,2-3 拉氏变换与反变换,6.初值定理 若 ,则 例 已知 ,求 由初值定理知:,2-3 拉氏变换与反变换,7.终值定理 当 ,且 存在时, 则 例:已知 ,求,2-3 拉氏变换与反变换,8.相似定理 若 ,则 9.卷积定理 设 、 的拉氏变换为
7、、 ,,2-3 拉氏变换与反变换,六、拉氏反变换的数学方法:部分分式法 设 1.将 化为真分式; 2.对 进行因式分解,得到 其中 称为 的极点。,2-3 拉氏变换与反变换,3.根据以下三种情况求 的各项系数; (1) 的极点为各不相同的实数时; (2) 的极点含有共轭复数时; (3) 的极点有重复时。 4.根据拉氏反变换的叠加原理求原函数。,2-3 拉氏变换与反变换,七、应用拉氏变换与反变换求解微分方程 1.对微分方程进行拉氏变换; 2.整理并得出输出变量的复数域表达式; 3.对输出变量的复数域表达式应用部分分式法进行 拉氏反变换,求得微分方程在时间域的解。,2-3 拉氏变换与反变换,小结:
8、 1.理解拉氏变换的含义及主要定理,要会应用拉氏 变换的主要定理及反变换部分分式法对微分方程进 行求解。 2.作业2-4。,2-4 传递函数,为什么要建立传递函数模型? 1.在微分方程模型中,只能通过求解,才能对控制 系统的性能进行分析,而求解过程比较繁琐复杂; 2. 传递函数免去了求解微分方程的麻烦,可以在复 平面上画出传递函数的曲线形状,通过形状直接判 断系统性能。, 2-4 传递函数,一、传递函数的定义 1.对于线性定常系统,在零初始条件下,系统的输出 量的拉氏变换 与引起该输出的输入量的拉氏变换 之比,称为系统的传递函数 ,即 2.输入量施加于系统之前,系统处于稳定的工作状态 ,即 时
9、,输出量及其各阶导数也均为0;, 2-4 传递函数,3.设线性定常系统的微分方程为: 则零初始条件下对数学微分方程做拉氏变换: 系统的传递函数:, 2-4 传递函数,4.输出的拉氏变换: 时域中的输出:, 2-4 传递函数,二、传递函数的零极点 传递函数分子分母多项式进行因式分解: 式中 是分子多项式的零点,即传递函数的零点; 是分母多项式的零点,称为传递函数的极点(微 分方程特征根)。 传递函数的零点和极点可以是实数也可以是复数。 其中 称为传递系数或根轨迹增益。, 2-4 传递函数,三、传递函数的特点 1. 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量 之间关系的表达式,它只取决于系统或原件
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- 第二 控制 理论 数学模型
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