第二十一章重积分精选文档.ppt
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1、第二十一章重积分本讲稿第一页,共四十八页1 二重积分的概念一一、平面图形的面积平面图形的面积二二、二重积分的定义及其存在性二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质三、二重积分的性质本讲稿第二页,共四十八页一 平面图形的面积1.内、外面积(约当,黎曼外内测度)的概念本讲稿第三页,共四十八页本讲稿第四页,共四十八页(2)(3)本讲稿第五页,共四十八页于是由(3)可得使得(2)式成立但 本讲稿第六页,共四十八页所以 本讲稿第七页,共四十八页 定理212 平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零 证 由定理211,P可求面积的充要条件是:由于 本讲稿第八页,共四十八页本讲稿第九页,共
2、四十八页还可证明得到:本讲稿第十页,共四十八页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点:平顶:平顶.柱体体积柱体体积=?特点特点:曲顶:曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积二 二重积分的定义及其存在性本讲稿第十一页,共四十八页播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法,如下动画演示的方法,如下动画演示本讲稿第十二页,共四十八页解:解:对区域对区域D进行网状分割(如图)进行网状分割(如图)曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平底面为平面区域面区域 D,求此曲顶柱体的体积求此曲顶柱体的体积。本讲稿第十
3、三页,共四十八页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积本讲稿第十四页,共四十八页3)求和:所有小区域对应小曲顶柱体体)求和:所有小区域对应小曲顶柱体体 积之积之和为和为4)取极限:)取极限:2)近似:)近似:每个个小区域每个个小区域内任取一点内任取一点则每个小曲顶柱体的体积近似为:则每个小曲顶柱体的体积近似为:其中其中本讲稿第十五页,共四十八页2 平面薄片的质量平面薄片的质量2)取点)取点3)作和)作和4)取极限)取极限设平面薄片占有设平面薄片占有xoy面上的区域为面上的区域为D,它在点(,它在点(x,y)处的密度为处的密度为求:此薄片的质量求:此薄片的质量本讲稿第十六页,共四十八页3.二重积分的概念本
4、讲稿第十七页,共四十八页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被积积函函数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素本讲稿第十八页,共四十八页注:注:1)在二重积分定义中,对区域在二重积分定义中,对区域D的划分是的划分是任意的,故任意的,故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域则则故在直角坐标系中,故在直角坐标系中,都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为的边长为和和行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线
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