【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 数列 文.DOC
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1、数列D1数列的概念与简单表示法15D1,D52013湖南卷 对于Ea1,a2,a100的子集Xai1,ai2,aik,定义X的“特征数列”为x1,x2,x100,其中xi1xi2xik1,其余项均为0.例如:子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0.(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于_;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,p100满足p11,pipi11,1i99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,q100满足q11,qjqj1qj21,1j98,则PQ的元素个数为_15217解析 (1)由特征数列的定义可知,子集a1,a3,a5的“特征数列”为1,0
2、,1,0,1,0,0,故可知前三项和为2.(2)根据“E的子集P的“特征数列”p1,p2,p100满足p11,pipi11,1i99”可知子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0.即奇数项为1,偶数项为0.根据“E的子集Q的“特征数列”q1,q2,q100满足q11,qjqj1qj21,1j98”可知子集Q的“特征数列为1,0,0,1,0,0,0,1.即项数除以3后的余数为1的项为1,其余项为0,则PQ的元素为项数除以6余数为1的项,可知有a1,a7,a13,a97,共17项4D12013辽宁卷 下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题: p1:数列an是递增数列; p2:数列nan是递
3、增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1,p2 Bp3,p4Cp2,p3 Dp1,p44D解析 因为数列an为d0的数列,所以an是递增数列,则p1为真命题而数列an3nd也是递增数列,所以p4为真命题,故选D.D2等差数列及等有效期数列前n项和19D2,D42013安徽卷 设数列an满足a12,a2a48,且对任意nN*,函数f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x满足f0.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn2,求数列bn的前n项和Sn.19解:(1)由题设可得,f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.
4、对任意nN*,fanan1an2an10,即an1anan2an1,故an为等差数列由a12,a2a48,解得an的公差d1,所以an21(n1)n1.(2)由bn2an22n2知,Snb1b2bn2n2n23n1.7D22013安徽卷 设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9()A6 B4 C2 D27A解析 设公差为d,则8a128d4a18d,即a15d,a7a16d5d6dd2,所以a9a72d6.20M2,D2,D3,D52013北京卷 给定数列a1,a2,an,对i1,2,n1,该数列前i项的最大值记为Ai,后ni项ai1,ai2,an的最小值记为Bi,diAiB
5、i.(1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;(2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10.证明:d1,d2,dn1是等比数列;(3)设d1,d2,dn1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an1是等差数列20解:(1)d12,d23,d36.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列因此,对i1,2,n1,Aiai,Biai1.于是对i1,2,n1,diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2,n2),即d1,d2,dn1是等比数列(3)证明:设d为d1,d2,dn1的公差对1in2,因为BiB
6、i1,d0,所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi,ai1,所以ai1Ai1Aiai.从而a1,a2,an1是递增数列,因此Aiai(i1,2,n1)又因为B1A1d1a1d1a1,所以B1a1a2a1a9,求a1的取值范围17解:(1)因为数列an的公差d1,且1,a1,a3成等比数列,所以a1(a12),即aa120,解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1,且S5a1a9,所以5a110a8a1,即a3a1100,解得5a12.17D2,D32013新课标全国卷 已知等差数列an的公差不为零,a125,且a1,a11,a13成等比数列(1)求an的通
7、项公式;(2)求a1a4a7a3n2.17解:(1)设an的公差为d.由题意,aa1a13,即(a110d)2a1(a112d),于是d(2a125d)0.又a125,所以d0(舍去),d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31,故a3n2是首项为25,公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.20D22013山东卷 设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足1,nN*,求bn的前n项和Tn.20解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由S44S2,a2
8、n2an1得解得a11,d2.因此an2n1,nN*.(2)由已知1,nN*,当n1时,;当n2时,1.所以,nN*.由(1)知an2n1,nN*,所以bn,nN*.又Tn,Tn,两式相减得Tn,所以Tn3.17D22013陕西卷 设Sn表示数列的前n项和(1)若是等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a11,q0,且对所有正整数n,有Sn.判断是否为等比数列,并证明你的结论17解: (1)方法一:设的公差为d,则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d,又Snan(and)an(n1)d,2Snn(a1an),Sn.方法二:设的公差为d,则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d,又
9、Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1,2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d,Snna1d.(2)是等比数列证明如下:Sn,an1Sn1Snqn. a11,q0,当n1时,有 q.因此,an是首项为1且公比为q的等比数列16D2,D32013四川卷 在等比数列an中,a2a12,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和16解:设该数列的公比为q,由已知,可得a1qa12,4a1q3a1a1q2,所以,a1(q1)2,q24q30,解得q3或q1.由于a1(q1)2,因此q1不合题意,应舍去故公比q3,首项a11.所以,
10、数列的前n项和Sn.17D2、D42013新课标全国卷 已知等差数列an的前n项和Sn满足S30,S55.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和17解:(1)设an的公差为d,则Snna1d.由已知可得 解得a11,d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知,数列的前n项和为.19D22013浙江卷 在公差为d的等差数列an中,已知a110,且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d,an ;(2)若d0,求|a1|a2|a3|an|.19解:(1)由题意得5a3a1(2a22)2,即d23d40.故d1或d4.所以ann11,nN*或 an4n6,nN*.(2)设数列an的
11、前n项和为Sn,因为d0.证明:d1,d2,dn1是等比数列;(3)设d1,d2,dn1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an1是等差数列20解:(1)d12,d23,d36.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列因此,对i1,2,n1,Aiai,Biai1.于是对i1,2,n1,diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2,n2),即d1,d2,dn1是等比数列(3)证明:设d为d1,d2,dn1的公差对1in2,因为BiBi1,d0,所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi,ai1,所以ai1Ai
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