第一节重积分的概念及其性质精选文档.ppt
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1、第一节重积分的概念及其性质本讲稿第一页,共三十七页重积分重积分三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章第十章 本讲稿第二页,共三十七页重积分重积分解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底:底:xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面:侧面:以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其
2、体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”本讲稿第三页,共三十七页重积分重积分1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体本讲稿第四页,共三十七页重积分重积分4)4)“取极限取极限”令令本讲稿第五页,共三十七页重积分重积分2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的
3、面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.本讲稿第六页,共三十七页重积分重积分2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量本讲稿第七页,共三十七页重积分重积分两个问题的两个问题的共性共性:(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和
4、,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:本讲稿第八页,共三十七页重积分重积分二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,本讲稿第九页,共三十七页重积分重积分引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在
5、在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作这时这时本讲稿第十页,共三十七页重积分重积分定理定理1.二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略)在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,在在D:上二重积分存在上二重积分存在;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在.本讲稿第十一页,共三十七页重积分重
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