极限如何转化为定积分 [积分与极限].doc
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1、极限如何转化为定积分 积分与极限 积分与极限。 说明:我们常常需要考虑闭区间a,b上函数列fn(x)积分后的极限问题,即求 当极限limfn(x)=f(x)对每个xa,b都存在,且函数f(x)在a,blimfn(x)dx。n+bn+a 上可积,我们自然期待limn+abfn(x)dx=limfn(x)dx。an+b 实事上这个等式在许多情形下是正确的。等式成立的一个充分条件涉及函数的一致收敛性。但的确存在等式不成立的情形。也就是说,存在闭区间a,b上连续函数列fn(x),使得limn+abfn(x)dxlimfn(x)dx。这表明对于函数列fn(x)作积分运算和极限运算an+b 的先后次序不同
2、,所得的结果可能不同。 以下我们考虑极限lim 题1.设函数f(x)在区间0,1上连续。证明lim(n+1)xf(x)dx=f(1).n+0n+abfn(x)dx的两个例子。1n 证明。注意我们可以将f(1)表示为f(1)=(n+1)xf(1)dx。于是我们要证01n n+lim(n+1)xnf(x)-f(1)dx=0。01 根据函数f(x)的连续性可知,f(x)有界,及存在正数m0,使得|f(x)|m,x0,1。再根据函数f(x)在点x=1处的左连续性可知,对于0,0,使得|f(x)-f(1)| (n+1)xf(x)-f(1)dx(n+1)xnf(x)-f(1)dxn 0011 (n+1)1
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