初三相似三角形讲义全(21页).doc
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1、-第 1 页初三相似三角形初三相似三角形讲义全讲义全-第 2 页相似三角形知识点总结相似三角形知识点总结知识点知识点 1 1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如ABC 与A/B/C/相似,记作:ABCA/B/C/。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。注意:(1)相似比是有顺序的。(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。(3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若ABCA/B/C/,相似比为 k,则A/B/C/与
2、ABC 的相似比是1k知识点知识点 2 2、相似三角形与全等三角形的关系、相似三角形与全等三角形的关系(1)两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。知识点知识点 3 3、平行线分线段成比例定理、平行线分线段成比例定理1.比例线段的有关概念:b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,使 AC2=ABBC,叫做把线段 AB 黄金分割,C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2.比例性质:3.平行线
3、分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知 l1l2l3,ADl1BEl2CFl3可得EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或等.(2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由 DEBC 可得:ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利
4、用比例式证平行线.(4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点知识点 4 4:相似三角形的性质:相似三角形的性质-第 3 页 D A B C相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点知识点 5 5:相似三角形的判定:相似三角形的判定:两角对应相等,两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似三边对应成比例,两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边
5、对应成比例,那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。形相似。点拨:在三角形中,若已知两个角,由三角形内角和定理可求出第三个角。注意公共角的运用,公共角也就是两个三角形都有的角,公共角是隐含的相等的角,我们应注意公共角的运用。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。注意:这
6、个角必须是两边的夹角,而不能是其他的角,其他的角则不可以识别两个三角形相似,此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”三边对应成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。知识点六:摄影定理知识点六:摄影定理ADAD2 2=BD=BDCDCDABAB2 2=BD=BDBCBCACAC2 2=CD=CDBCBC特殊图形(双垂直模型)BAC=90ADAD2 2=BD=BDCDCDABAB2 2=BD=BDBCBCACAC2 2=CD=CDBCBC知识点七:相似三角形的周长和面积知识点七:相似三角形的周长和面积(1)相似三角形的对应高相等,对应边的比相等。(2)相似三角形对应高的比、对应中线
7、的比、对应角平分线的比等于相似比。(3)相似三角形的周长比等于相似比;(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充:相似三角形的识别方法补充:相似三角形的识别方法(1)定义法:三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。注意:适用此方法的基本图形,(简记为 A 型,X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。ABCDEABCDEADBCBACBDAADC-第 4 页(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比
8、例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。相似三角形的基本图形:相似三角形的基本图形:判断三角形相似判断三角形相似,若已知一角对应相等若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。相似三角形的应用相似三角形的应用:求物体的长或宽或高
9、;求有关面积等。经典习题经典习题考点一:平行线分线段成比例考点一:平行线分线段成比例1、(2013 广东肇庆)如图,已知直线abc,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC 4,CE 6,BD 3,则BF()A 7B 7.5C 8D 8.52、(2013福州)如图,已知ABC,AB=AC=1,A=36,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,则 AD 的长是,cosA 的值是(结果保留根号)3、(2011 湖南怀化)如图所示:ABC中,DEBC,AD5,BD10,AE3,则CE的值为()A9B6C3D44(2011 山东泰安)如图,点F是ABCD的边CD上一点,直线BF
10、交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()AEDDFEAABBDEEFBCFBCBCBFDEBEDBFBCBEAE5(2012孝感)如图,在ABC 中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC 交 AC 于点 D,若 AC=2,则 AD 的长是()A512B512C51D51考点二:相似三角形的性质考点二:相似三角形的性质1、(2013昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B重合),对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交AC,BD 于点 E,F,交 AD,BC 于点 M,N下列结论:APEAME;PM+PN=AC;PE
11、2+PF2=PO2;POFBNF;当PMNAMP 时,点 P 是 AB 的中点其中正确的结论有()abcABCDEFmn-第 5 页A 5 个B4 个C3 个D 2 个考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质分析:依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以及APE、BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形,从而作出判断解答:解:四边形 ABCD 是正方形,BAC=DAC=45在APE 和AME 中,APEAME,故正确;PE=EM=PM,同理,FP=FN=NP正方形 ABCD 中 ACBD,又PEAC,PFBD,PE
12、O=EOF=PFO=90,且APE 中 AE=PE四边形 PEOF 是矩形PF=OE,PE+PF=OA,又PE=EM=PM,FP=FN=NP,OA=AC,PM+PN=AC,故正确;四边形 PEOF 是矩形,PE=OF,在直角OPF 中,OF2+PF2=PO2,PE2+PF2=PO2,故正确BNF 是等腰直角三角形,而POF 不一定是,故错误;AMP 是等腰直角三角形,当PMNAMP 时,PMN 是等腰直角三角形PM=PN,又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形,AP=BP,即 P 时 AB 的中点故正确故选 B点评:本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,认识APM 和BPN 以及
13、APE、BPF 都是等腰直角三角形,四边形 PEOF 是矩形是关键2、(2013新疆)如图,RtABC 中,ACB=90,ABC=60,BC=2cm,D 为 BC 的中点,若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,沿着 ABA 的方向运动,设 E 点的运动时间为 t秒(0t6),连接 DE,当BDE 是直角三角形时,t 的值为()A 2B2.5 或 3.5C3.5 或 4.5D 2 或 3.5 或 4.5考点:相似三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形专题:动点型分析:由 RtABC 中,ACB=90,ABC=60,BC=2cm,可求得 AB 的长,由 D 为 BC 的中点,可
14、求得 BD 的长,然后分别从若DBE=90与若EDB=90时,去分析求解即可求得答案-第 6 页解答:解:RtABC 中,ACB=90,ABC=60,BC=2cm,AB=2BC=4(cm),BC=2cm,D 为 BC 的中点,动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,BD=BC=1(cm),BE=ABAE=4t(cm),若DBE=90,当 AB 时,ABC=60,BDE=30,BE=BD=(cm),t=3.5,当 BA 时,t=4+0.5=4.5若EDB=90时,当 AB 时,ABC=60,BED=30,BE=2BD=2(cm),t=42=2,当 BA 时,t=4+2=6(舍去)综上可得
15、:t 的值为 2 或 3.5 或 4.5故选 D点评:此题考查了含 30角的直角三角形的性质此题属于动点问题,难度适中,注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用3、(2013内江)如图,在 ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE、BD,且 AE、BD 交于点 F,SDEF:SABF=4:25,则 DE:EC=()A 2:5B2:3C3:5D 3:2考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质分析:先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF,再根据 SDEF:SABF=4:10:25 即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出 DE:EC 的值,由 AB=CD即可得
16、出结论解答:解:四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,EAB=DEF,AFB=DFE,DEFBAF,SDEF:SABF=4:25,DE:AB=2:5,AB=CD,DE:EC=2:3故选 B点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相似三角形边长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键4、(2013宁夏)ABC 中,D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点,BC=4,下面四个结论:DE=2;ADEABC;ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1:4;ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1:4;其中正确的有(只填序号)考点:相似三角形的判定与性质;三角形
17、中位线定理3718684分析:根据题意做出图形,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,可得 DEBC,DE=BC=2,则可证得-第 7 页ADEABC,由相似三角形面积比等于相似比的平方,证得ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1:4,然后由三角形的周长比等于相似比,证得ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1:2,选出正确的结论即可解答:解:在ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,DEBC,DE=BC=2,ADEABC,故正确;ADEABC,=,ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1:4,ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1:2,故正确,错误故答案为:点评:此题考查了相似
18、三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质,难度不大,注意掌握数形结合思想的应用,要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方5、(2013自贡)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=9,BAD 的平分线交 BC 于 E,交DC 的延长线于 F,BGAE 于 G,BG=,则EFC 的周长为()A 11B10C9D 8考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质3718684分析:判断出ADF 是等腰三角形,ABE 是等腰三角形,DF 的长度,继而得到 EC 的长度,在RtBGE 中求出 GE,继而得到 AE,求出ABE 的周长,根据相似三角形的周长
19、之比等于相似比,可得出EFC 的周长解答:解:在 ABCD 中,AB=CD=6,AD=BC=9,BAD 的平分线交 BC 于点 E,BAF=DAF,ABDF,ADBC,BAF=F=DAF,BAE=AEB,AB=BE=6,AD=DF=9,ADF 是等腰三角形,ABE 是等腰三角形,ADBC,EFC 是等腰三角形,且 FC=CE,EC=FC=96=3,在ABG 中,BGAE,AB=6,BG=4,AG=2,AE=2AG=4,-第 8 页ABE 的周长等于 16,又CEFBEA,相似比为 1:2,CEF 的周长为 8故选 D点评:本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形
20、的周长之比等于相似比,此题难度较大6、(2013宜昌)如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以 C,D,E 为顶点的三角形与ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是()A(6,0)B(6,3)C(6,5)D(4,2)考点:相似三角形的性质;坐标与图形性质分析:根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断解答:解:ABC 中,ABC=90,AB=6,BC=3,AB:BC=2A、当点 E 的坐标为(6,0)时,CDE=90,CD=2,DE=1,则 AB:BC=CD:DE,CDEABC,故本选项不符合题意;B、当点 E 的坐标为(
21、6,3)时,CDE=90,CD=2,DE=2,则 AB:BCCD:DE,CDE与ABC 不相似,故本选项符合题意;C、当点 E 的坐标为(6,5)时,CDE=90,CD=2,DE=4,则 AB:BC=DE:CD,EDCABC,故本选项不符合题意;D、当点 E 的坐标为(4,2)时,ECD=90,CD=2,CE=1,则 AB:BC=CD:CE,DCEABC,故本选项不符合题意;故选 B点评:本题考查了相似三角形的判定,难度中等牢记判定定理是解题的关键7、(2013雅安)如图,DE 是ABC 的中位线,延长 DE 至 F 使 EF=DE,连接 CF,则 SCEF:S四边形 BCED的值为()A 1
22、:3B2:3C1:4D 2:5考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理分析:先利用SAS证明ADECFE(SAS),得出SADE=SCFE,再由DE为中位线,判断ADEABC,且相似比为 1:2,利用相似三角形的面积比等于相似比,得到 SADE:SABC=1:4,则 SADE:S四边形 BCED=1:3,进而得出 SCEF:S四边形 BCED=1:3解答:解:DE 为ABC 的中位线,AE=CE在ADE 与CFE 中,ADECFE(SAS),SADE=SCFEDE 为ABC 的中位线,ADEABC,且相似比为 1:2,-第 9 页SADE:SABC=1:4,SAD
23、E+S四边形 BCED=SABC,SADE:S四边形 BCED=1:3,SCEF:S四边形 BCED=1:3故选 A点评:本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理关键是利用中位线判断相似三角形及相似比8、(2013 聊城)如图,D 是ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2DAC=B,若ABD的面积为 a,则ACD 的面积为()AaBCD考点:相似三角形的判定与性质分析:首先证明ACDBCA,由相似三角形的性质可得:ACD 的面积:ABC 的面积为1:4,因为ABD 的面积为 a,进而求出ACD 的面积解答:解:DAC=B,C=C,ACDBCA,AB=4,AD
24、=2,ACD 的面积:ABC 的面积为 1:4,ACD 的面积:ABD 的面积=1:3,ABD 的面积为 a,ACD 的面积为 a,故选 C点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中考常见题型9、(2013 菏泽)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1,S2,则 S1+S2的值为()A16B17C18D19考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质专题:计算题分析:由图可得,S1的边长为 3,由 AC=BC,BC=CE=CD,可得 AC=2CD,CD=2,EC=;然后,分别算出 S1、S2的面积,即可解答解答:解:如
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