线性代数基础幻灯片.ppt
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1、线性代数基础第1页,共94页,编辑于2022年,星期一v向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具.其“有力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。v学习基础知识,在专业课程中进一步认知,在科学研究中应用。第2页,共94页,编辑于2022年,星期一线性空间集合:笼统地说是指一些事物(或者对象,称为元素)组成的整体。集合的表示:枚举、表达式,如 集合的运算:并,交,补第3页,共94页,编辑于2022年,星期一v数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域(Q)、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。v线性空间是线性代数最基本的概念之一,
2、也是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。第4页,共94页,编辑于2022年,星期一线性空间的定义第5页,共94页,编辑于2022年,星期一第6页,共94页,编辑于2022年,星期一第7页,共94页,编辑于2022年,星期一注意几点v线性空间不能离开某一数域来定义。实际上,线性空间不能离开某一数域来定义。实际上,对于不同数域,同一个集合构成的线性空间对于不同数域,同一个集合构成的线性空间会不同,甚至一种能成为线性空间而另一种会不同,甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间。不能成为线性空间。v两种运算、八条性质两种运算、八条性质第8页,共94页,编辑
3、于2022年,星期一v数域中的运算是具体的四则运算,而线性空数域中的运算是具体的四则运算,而线性空间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象抽象。v当数域为实数域时,就称为实线性空间;为当数域为实数域时,就称为实线性空间;为复数域,就称为复线性空间。复数域,就称为复线性空间。第9页,共94页,编辑于2022年,星期一第10页,共94页,编辑于2022年,星期一第11页,共94页,编辑于2022年,星期一第12页,共94页,编辑于2022年,星期一第13页,共94页,编辑于2022年,星期一第14页,共94页,编辑于2022年,星期一第15页,共94页,编辑
4、于2022年,星期一第16页,共94页,编辑于2022年,星期一v线性空间中零元素是唯一的,v任一元素的负元素也是唯一的。v0*x=0(第一个0是数0,第二个0是线性空间中的零元素)v(-1)*x=-x第17页,共94页,编辑于2022年,星期一线性空间的维数、基、坐标线性相关性v 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。第18页,共94页,编辑于2022年,星期一第19页,共94页,编辑于2022年,星期一第20页,共94页,编辑于2022年,星期一第21页,共94页,编辑于2022年,星期一线性空间的维数v定义:线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数,记为d
5、im(V)。v本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及。第22页,共94页,编辑于2022年,星期一线性空间的基与坐标第23页,共94页,编辑于2022年,星期一v基正是V中最大线性无关元素组;V的维数正是基中所含元素的个数。v基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等。第24页,共94页,编辑于2022年,星期一第25页,共94页,编辑于2022年,星期一第26页,共94页,编辑于2022年,星期一第27页,共94页,编辑于2022年,星期一第28页,共94页,编辑于2022年,星期一第29页,共94页,编辑于2022年,星期一基变换与坐标变换v我们研究当基变换时,同一个向量在不同基下的坐
6、标会有什么关系。第30页,共94页,编辑于2022年,星期一第31页,共94页,编辑于2022年,星期一第32页,共94页,编辑于2022年,星期一第33页,共94页,编辑于2022年,星期一第34页,共94页,编辑于2022年,星期一线性子空间线性子空间 v一、线性子空间的定义及其性质一、线性子空间的定义及其性质v定义:设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合,且对V已有的线性运算满足以下条件如果x、y属于V1,则xy属于V1;(加法封闭)如果x属于V1,k属于K,则kx属于V1,(数乘封闭)v则称V1是V的一个线性子空间线性子空间或子空间子空间。第35页,共94页,编辑于2022年,星
7、期一分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间:平凡子空间:00和和V V本身本身非平凡子空间:除以上两类子空间非平凡子空间:除以上两类子空间性质:(性质:(性质:(性质:(1 1)线性子空间)线性子空间)线性子空间)线性子空间V1V1与线性空间与线性空间与线性空间与线性空间V V享有共同的零享有共同的零享有共同的零享有共同的零元素;元素;元素;元素;(2 2)V1V1中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在中元素的负元素仍在V1V1中。中。中。中。第36页,共94页,编辑于2022年,星期一第37页,共94页,编辑于2022年
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