第四章多项式插值与数值逼近精选PPT.ppt
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1、第四章多项式插值与数值逼近第1页,此课件共42页哦 实际问题中经常要涉及到实际问题中经常要涉及到函数值的计算函数值的计算问题:问题:(1)如果如果函数表达式函数表达式本身比较复杂,且需要多次本身比较复杂,且需要多次重复计算重复计算时,时,计算量会很大;计算量会很大;(2)有的函数甚至有的函数甚至没有表达式没有表达式,只是一种,只是一种表格函数表格函数,而我们需,而我们需要的函数值可能不在该表格中。要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况,我们都需要寻找一个对于这两种情况,我们都需要寻找一个计算方便且表达简单计算方便且表达简单的函数来的函数来近似代替近似代替,这就是,这就是数值逼近数值逼近问题
2、。问题。问题背景问题背景第2页,此课件共42页哦1 1 插值问题插值问题 /*Interpolation Problem*/(插值的定义(插值的定义)已知定义于区间已知定义于区间 上的实值函数上的实值函数 在在 个个互异互异节点节点 处的函数值处的函数值 ,若函数集合,若函数集合 中的函中的函数数 满足满足则称则称 为为 在函数集合在函数集合 中关于中关于节点节点 的一个的一个插值插值函数函数,并称,并称 为为被插值函数被插值函数,a,b,a,b为为插值区间插值区间,为插值节点,(为插值节点,(*)式为)式为插值条件插值条件。设设外插法外插法:内插法内插法:用用 计算被插值函数计算被插值函数
3、在点在点 处的近似值处的近似值 用用 计算被插值函数计算被插值函数 在点在点 处处的近似值的近似值 第3页,此课件共42页哦插值插值类型类型代数代数插值:集合插值:集合 为多项式函数集为多项式函数集x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)几何几何意义:意义:有理有理插值:集合插值:集合 为有理分式函数集为有理分式函数集三角三角插值:集合插值:集合 为三角函数集为三角函数集第4页,此课件共42页哦代数插值的代数插值的存在唯一性存在唯一性设设即即代入插值条件:代入插值条件:第5页,此课件共42页哦方程组的系数矩阵是方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵矩阵 方程组存在唯一解,因此满足插值条件
4、方程组存在唯一解,因此满足插值条件(*)(*)的不超过的不超过n次的插值多项式是次的插值多项式是唯一存在唯一存在的的.第6页,此课件共42页哦截断截断误差误差插值插值余项余项设设 在区间在区间 a,ba,b上连续,上连续,在区间在区间 a,ba,b上存在上存在,是满足插值条件(是满足插值条件(*)的不超过)的不超过n次的插值多项式,则对次的插值多项式,则对 存在存在 ,满足,满足其中其中 。且当且当 在区间在区间 a,ba,b有上有上界界 时,有时,有代数插值的插值余项代数插值的插值余项/*Remainder*/第7页,此课件共42页哦注意这里是对注意这里是对 t 求导求导证明:证明:设设结论
5、结论显然显然成立成立时时构造构造辅助辅助函数函数则则 有有 个互异零点个互异零点 、由罗尔由罗尔(Roll)定理定理在区间在区间(a,b)上至少有上至少有n+1个个互异互异零点零点在区间在区间(a,b)上至少有上至少有n个个互异互异零点零点以此类推,反复利用以此类推,反复利用Roll定理定理在区间在区间(a,b)上至少有上至少有1个零点个零点第8页,此课件共42页哦而而 注注注注:(1 1)插值误差与节点插值误差与节点插值误差与节点插值误差与节点 和和和和 之间的之间的之间的之间的距离距离距离距离有关;有关;有关;有关;(2 2)如果如果如果如果 本身本身本身本身为多项式,其插值函数为本身。为
6、多项式,其插值函数为本身。为多项式,其插值函数为本身。为多项式,其插值函数为本身。(3 3)通常不能确定通常不能确定 ,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。第9页,此课件共42页哦2 2 代数插值多项式的构造方法代数插值多项式的构造方法一、一、拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /*Lagrange Polynomial*/niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多项式次多项式 使得使得条件:条件:无重合节点,即无重合节点,即n=1已知已知 x0,x1;y0,y1,求,求使得使得111001)(,)(yxPyxP=可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和
7、和(x1,y1)两点的两点的直线直线。)()(0010101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称为称为拉氏基函数拉氏基函数 /*Lagrange Basis*/,满足条件满足条件 li(xj)=ij第10页,此课件共42页哦与与 有关,而与有关,而与 无关无关n 1希望找到希望找到li(x),i=0,n 使得使得 li(xj)=ij;然后令;然后令=niiinyxlxP0)()(,则显然有,则显然有Pn(xi)=yi。li(x)每个每个 li(x)有有 n 个根个根 x0 xi-1、xi+1 xn =j i jiii
8、ixxCxl)(11)(Lagrange Polynomial节点节点f第11页,此课件共42页哦若记若记第12页,此课件共42页哦例如例如 也是一个插值多项式,也是一个插值多项式,其中其中 可以是可以是任意任意多项式。多项式。(2)Lagrange插值多项式结构插值多项式结构对称对称,形式简单,形式简单.(3)误差估计误差估计注注:(1)若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n,则插值多项式,则插值多项式不唯一不唯一。(4)当插值当插值节点增加节点增加时,时,拉氏基函数需要拉氏基函数需要重新重新计算,计算,n较大时,计算量非常大较大时,计算量非常大,故故常用于理论分析。常用于理论分析
9、。第13页,此课件共42页哦Quiz:给定给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是下面哪个是 l2(x)的图像?的图像?y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0-1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x ABC 第14页,此课件共42页哦例例1:已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。解:解:n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.
10、7660444)185(50sin10 p pL0.77614利用利用sin 50 0.76008,选择要计算的选择要计算的 x 在区间的内部,在区间的内部,插值效果较好。插值效果较好。第15页,此课件共42页哦高次高次插值通常优于插值通常优于低次低次插值插值n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.7660444但绝对不是次数越高就但绝对不是次数越高就越好,越好,嘿嘿嘿嘿第16页,此课件共42页哦 反插值反插值问题问题已知定义于区间已知定义于区间 上的上的单调单调连续函数连续函数 在在 个个互异互异节节点点 处的函数值处的函数值 ,若,若函数值函数值 已已知,
11、如何求知,如何求?即求即求因此可以看作如下插值问题:因此可以看作如下插值问题:已知定义于区间已知定义于区间 上的连续函数上的连续函数 在在 个个互异互异节节点点 处的函数值处的函数值 ,求求函数值函数值第17页,此课件共42页哦 xi 1.0 1.4 1.8 2.0yi=f(xi)-2.0 -0.8 0.4 1.2例例2:已知单调连续函数已知单调连续函数 在如下采样点的函数值:在如下采样点的函数值:求方程求方程 在在1,2内根的近似值内根的近似值 。解:解:第18页,此课件共42页哦二二、牛顿插值牛顿插值 /*Newtons Interpolation*/Lagrange 插值虽然易算,但若要
12、增加一个节点时,插值虽然易算,但若要增加一个节点时,全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。将将 Ln(x)改写成改写成的形式,希望每加一个节点,的形式,希望每加一个节点,只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。?差商差商(亦称亦称均差均差)/*divided difference*/1阶差商阶差商/*the 1st divided difference of f w.r.t.xi and xj*/2阶差商阶差商第19页,此课件共42页哦11101010111010,.,.,.,.,.,+=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(K+1)阶差商
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