传染病传播模型精选PPT.ppt
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1、关于传染病传播模型第1页,讲稿共41张,创作于星期一 传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同,不可能立即对它做出恰当的假设,建立完善的模型,只能先做出最简单的假设,建立模型,得出结果,分析是否符合实际,然后针对其不合理或不完善处,进行修改或补充假设,逐步得到较为合理的模型。第2页,讲稿共41张,创作于星期一模型模型 1(SI 模型)假设条件 (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和 i(t)。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,既不考虑生死,也不考虑
2、迁移,并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日日接接触触率率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。第3页,讲稿共41张,创作于星期一 根据假设,每个病人每天可使 s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t),所以每天共有 Ns(t)i(t)个健康者被感染,即病人数Ni(t)的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下第4页,讲稿共41张,创作于星期一进而有再设初始时刻(t=0)病人的比例为i0,则由 s(t)+i(t)=1,得到初值问题 Logistic 模型第5页,讲稿共41张,创作于星期一初值问题的解为 第6页,讲稿共41张,创
3、作于星期一可画出 i(t)t 和 di/dt i 的图形为 i(t)t 的图形第7页,讲稿共41张,创作于星期一di/dt i 的图形第8页,讲稿共41张,创作于星期一于是可知:当 t 时,i1,即所有人终将被传染,全变为病人,这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。第9页,讲稿共41张,创作于星期一 然而,这个模型在传染病流行的前期还是可用的,可用它来预报传染病高潮的到来:当 i=1/2时,di/dt 达到最大值(di/dt)m,这个时刻为 这时病人增加得最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医
4、疗卫生部门关注的时刻。第10页,讲稿共41张,创作于星期一 还可以看出,tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平,越小卫生水平越高,所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第11页,讲稿共41张,创作于星期一模型模型 2(不考虑出生和死亡的 SIS 模型)有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以在 SI 模型的基础上,增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。假设条件 (1)人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类,以下简称健康者和病人。时刻t这两
5、类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t)和 i(t)。第12页,讲稿共41张,创作于星期一 (2)在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变,既不考虑生死,也不考虑迁移,并且时间以天为计量单位。(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日日接接触触率率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人。(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数,称为日日治治愈愈率率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者,1/称为这种传染病的平均传染期平均传染期。第13页,讲稿共41张,创作于星期一如果考虑到假设条件(4),则人员流程图如下 于是有第14页,讲稿共41张,创作于星期一记初始时刻的病人的比
6、例 i0(i0 0),从而 SI模型可以修正为我们称之为 Bernolli(贝努里)方程的初值问题,其解析解为第15页,讲稿共41张,创作于星期一其中 =/。由 和 1/的含义可知,是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数接触数。于是有第16页,讲稿共41张,创作于星期一我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为 di/dt i 的图形(1)第17页,讲稿共41张,创作于星期一i(t)t 的图形(1)第18页,讲稿共41张,创作于星期一di/dt i 的图形(1)第19页,讲稿共41张,创作于星期一i(t)t 的图形(1)第20页,讲稿共41张,创作于星期一模型模型 3(考虑出
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