非线性规划 (2)2优秀课件.ppt
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1、非线性规划第1页,本讲稿共77页第一节第一节 基本概念基本概念一、非线性规划问题与模型1.问题问题生产计划问题x:产量;P(x):价格;C(x)成本第2页,本讲稿共77页 投资决策问题第3页,本讲稿共77页 2.模型模型第4页,本讲稿共77页 二、模型的解及相关概念1.可行解与最优解可行解与最优解可行解:约束集D中的X。最优解:如果有 ,对于任意的 ,都有 ,则称 为(NLP)的最优 解,也称为全局最小值点。局部最优解:如果对于 ,使得在 的邻 域 中的任意 都有 ,则称 为(NLP)的局部最 优 解,也称为局部最小值点。第5页,本讲稿共77页例1:考虑非线性问题如果约束改为 呢?第6页,本讲
2、稿共77页2.梯度、海塞阵与泰勒公式梯度、海塞阵与泰勒公式 梯度第7页,本讲稿共77页海塞阵第8页,本讲稿共77页泰勒公式第9页,本讲稿共77页例2:写出 在 点的二阶泰勒展开式解:第10页,本讲稿共77页3.极值的条件极值的条件对于无约束极值问题,可以利用微积分的知识给出局部极值点的条件。将n(n1)元函数 与一元函数 的极值条件加以对比并归纳如下:充分条件 必要条件第11页,本讲稿共77页例3:求 的极小值点解第12页,本讲稿共77页4.凸规划凸规划凸函数:f(X)是定义在凸集D上且满足对任意 有下式成立的函数:若不等式中严格不等号成立,则称f(X)为严格凸函数注:判断一个可导函数f(X)
3、是否是凸函数的方法一元函数f(x):二阶导大于等于零;多元函数f(X):海塞阵半正定。第13页,本讲稿共77页凸规划性质:约束集是凸集;最优解集是凸集;任何局部最优解也是全局最优解;若目标函数是严格凸函数,且最优解存在,则 其最优解是唯一的。在非线性规划模型(NLP)中,若目标函数f(X)是凸函数,不等式约束函数 为凹函数,等式约束函数 为仿射函数,则称(NLP)是一个凸规划。第14页,本讲稿共77页例4:判断下面的非线性规划是否为凸规划标准化计算第15页,本讲稿共77页第二节第二节 无约束极值问题无约束极值问题一般模型:求解(f(X)可微):应用极值条件求解,往往得到一个非线 性的方程组,求
4、解十分困难。因此,求 解无约束问题一般 采用迭代法,称为下降类算法。第16页,本讲稿共77页一、下降类算法的基本步骤与算法收敛性1.基本思想基本思想第17页,本讲稿共77页2.基本步骤基本步骤(1)(2)(3)(4)注:不同的搜索方向,就形成了不同的算法,不 同的算法所产生的点列收敛于最优解的速度 也不一样。第18页,本讲稿共77页3.收敛性收敛性衡量标准:二阶收敛超线性收敛线性收敛第19页,本讲稿共77页二、一维搜索第20页,本讲稿共77页1.分数法分数法(斐波那契法)基本思想怎样在区间中取点最好?第21页,本讲稿共77页基本概念满足绝对精度:满足相对精度:斐波那契数:55342113853
5、2119876543210第22页,本讲稿共77页第23页,本讲稿共77页步骤第24页,本讲稿共77页例5:第25页,本讲稿共77页2.0.618法法区别:每次取点得比例是定值0.168,即每次区间内两 点得位置均在区间相对长度得0.328和0.168处。特点:简单,更易于应用;效果也比较好。第26页,本讲稿共77页3.近似最佳步长公式近似最佳步长公式第27页,本讲稿共77页例6:第28页,本讲稿共77页三、梯度法和共轭梯度法1.梯度法梯度法第29页,本讲稿共77页 一般步骤(1)(2)(3)(4)第30页,本讲稿共77页例7:第31页,本讲稿共77页上例中,目标函数是同心圆族。无论初始点选在
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