规划数学非线性规划基本知识精选PPT.ppt
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1、关于规划数学非线性规划基本知识第1页,讲稿共38张,创作于星期三非线性规划基本概念(非线性规划基本概念(3.1)1 1 非线性规划模型分类非线性规划模型分类 一般无一般无约约束极束极值值形式形式为为:一般有约束极值问题形式为:一般有约束极值问题形式为:第2页,讲稿共38张,创作于星期三例例1 1 在层次分析层次分析(Analytic Hierarchy Process,简记为 AHP)中,为了进行多属性的综合评价,需要确定每个属性的相对重要性,即它们各自的权重。为此,将各属性进行两两比较可得如下判断矩阵:其中:是第个属性与第个属性的重要性之比。现需要从判断矩阵求出各属性的权重,为使求出的权重向
2、量在最小二乘意义上能最好地反映判断矩阵的估计,建立数学模型:有约束极值问题有约束极值问题第3页,讲稿共38张,创作于星期三例例2 2 模型参数识别问题模型参数识别问题 设已知某问题的数学模型为 试验测得在时刻时时 的值为的值为试用其估计参数 。建立问题为的数学模型建立问题为的数学模型采用最小二乘法问题转化为求解无约束极值问题无约束极值问题第4页,讲稿共38张,创作于星期三2 2 多元函数的极值问题多元函数的极值问题(1)梯度及Hesse 矩阵 梯度Hesse矩阵第5页,讲稿共38张,创作于星期三 例例3 3:求下列函数的梯度:求下列函数的梯度:解:解:第6页,讲稿共38张,创作于星期三解:解:
3、第7页,讲稿共38张,创作于星期三例例4 4 求目标函数求目标函数 f(X)=的梯度和Hesse矩阵。解:解:则 又因为:故Hesse阵为:第8页,讲稿共38张,创作于星期三 (2)局部极值和全局极值极小点局部极小点全局极小点严格局部极小点非严格局部极小点非严格全局极小点严格全局极小点例如:图中一元函数f定义在区间a b上 为严格局部极小点,非严格局部极小点 a为严格全局极小点第9页,讲稿共38张,创作于星期三凸(凹)函数凸(凹)函数定义定义:设函数 在凸集 上有定义,如果对任意 和 属于 及任何实数()则称 是 上的凸函数.(3)凸函数、凹函数及凸规划凸(凹)函数二阶判别定理:凸(凹)函数二
4、阶判别定理:设 是 非空开凸集 上的二阶连续可微函数,则 为凸函数的充分必要条件是 在 上半正(负)定。第10页,讲稿共38张,创作于星期三第11页,讲稿共38张,创作于星期三凸规划凸规划若 为凸函数 为凹函数,则该非线性规划为凸规划。定义:第12页,讲稿共38张,创作于星期三凸规划性质:设 是凸规划问题的一个局部最优解,则 是全局最优解。如果 是严格凸函数,则 是唯一全局最优解。证明:反证法 设 是凸规划的局部最优解但不是全局最优解,则存在可行解 满足由可行域为凸集,则 为可行解由 是凸函数即在 的任意小邻域内存在函数值小于 的可行解与 是局部极小点矛盾。证毕。第13页,讲稿共38张,创作于
5、星期三 (4)多元函数的泰勒公式 多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。下面就给出多元函数Taylor展开式:的二阶泰勒展开例例5 5 用泰勒公式将函数 在点 解:第14页,讲稿共38张,创作于星期三给出给出 极小点的一个初始估计值极小点的一个初始估计值 令令设设其中:其中:为一个方向向量,为一个方向向量,为一个实数(称为步长)为一个实数(称为步长)依次用(依次用(1)式计算得一个点列)式计算得一个点列若有:若有:则称(则称(1)为下降迭代算法)为下降迭代算法1)定义:定义:4 下降迭代算法下降迭代算法令令第15页,讲稿共38张,创作于星期三
6、例例 6 试求目标函数 在点 处的负梯度方向,并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解:由于 则函数在 处的负梯度方向是这个方向上的单位向量是:新的点为:第16页,讲稿共38张,创作于星期三 (2)确定最佳步长 :在 已知的情况下求 (1)确定搜索方向 :不同的搜索方向对应不同的算法定理:式(1)中按最佳步长得到的新的点 处的梯度和其搜索方向正交。即证明:得 即为最佳步长第17页,讲稿共38张,创作于星期三例例 7 7:试求目标函数试求目标函数 在点 处的处的负梯度方向,并求沿这个方向移动最佳步长后新点的目标函数值。负梯度方向,并求沿这个方向移动最佳步长后新点的目标函数值。解:解:
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