2022届高三数学一轮复习(原卷版)9.9 直线与圆锥曲线的位置关系.doc
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《2022届高三数学一轮复习(原卷版)9.9 直线与圆锥曲线的位置关系.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022届高三数学一轮复习(原卷版)9.9 直线与圆锥曲线的位置关系.doc(12页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、99直线与圆锥曲线的位置关系121直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与圆锥曲线_公共点;相切时,直线与圆锥曲线有_公共点;相交时,直线与椭圆有_公共点,直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点一般通过它们的方程来研究:设直线l:AxByC0与二次曲线C:f(x,y)0,由消元,如果消去y后得:ax2bxc0,(1)当a0时,0,则方程有两个不同的解,直线与圆锥曲线有两个公共点,直线与圆锥曲线_;0,则方程有两个相同的解,直线与圆锥曲线有一个公共点,直线与圆锥曲线_;0,则方程无解,直线与圆锥曲线没有公共点,直线与圆锥曲线_(2)注意消元后非二次的
2、情况,即当a0时,对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形2直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l:ykxm与二次曲线C:f(x,y)0交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得ax2bxc0(a0),则x1x2_,x1x2_,_(2)若弦过焦点,可得焦点弦,可用焦半径公式来表示弦长,以简化运算3直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的
3、方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1x2,y1y2,x1x2,y1y2,从而建立中点坐标和斜率的关系无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论自查自纠:1无一个两个(1)相交相切相离(2)平行或重合平行或重合2(1) 直线ykxk1与椭圆1的位置关系是 ()A相交 B相切 C相离 D不确定解:由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交故选A 若直线ykx与双曲线1相交,则k的取
4、值范围是 ()A(0,) B(,0)C(,) D(,)(,)解:双曲线1的渐近线方程为y±x,若直线与双曲线相交,由数形结合,得k(,)故选C 抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线xy0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()Ay24x By22xCx22y Dy22x解:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为 y22px,则两式相减可得2p×(y1y2)kAB×22,即可得p1,所以抛物线C的方程为y22x故选B 已知椭圆C:1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆
5、相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为_解:由题意得解得所以椭圆C的方程为1故填1 已知双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2),则该渐近线与圆(x1)2(y2)24相交所得的弦长为_解:因为bxay0过点(1,2),故b2a0,渐近线方程为2xy0,圆心到该直线的距离d,故弦长为2故填类型一弦的中点问题(1)已知一直线与椭圆4x29y236相交于A,B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),则直线AB的方程为_解法一:根据题意,易知直线AB的斜率存在,设通过点M(1,1)的直线AB的方程为yk(x1)1,代入椭圆方程,整理得(9k24)x218k(1k)x9(1k)23
6、60设A,B的横坐标分别为x1,x2,则1,解之得k故直线AB的方程为y(x1)1,即4x9y130解法二:设A(x1,y1)因为AB中点为M(1,1),所以B点坐标是(2x1,2y1)将A,B点的坐标代入方程4x29y236,得4x9y360,及4(2x1)29(2y1)236,化简为4x9y16x136y1160,得16x136y1520,化简为4x19y1130同理可推出4(2x1)9(2y1)130因为A(x1,y1)与B(2x1,2y1)都满足方程4x9y130,所以4x9y130即为所求解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2)是弦的两个端点,代入椭圆方程,得,得4(x1x2)(
7、x1x2)9(y1y2)(y1y2)0因为M(1,1)为弦的中点,所以x1x22,y1y22所以4(x1x2)9(y1y2)0所以kAB故AB方程为y1(x1),即4x9y130故填4x9y130(2)已知双曲线x21上存在两点M,N关于直线yxm对称,且MN的中点在抛物线y218x上,则实数m的值为_解:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1),显然x1x2所以·3,即kMN·3,因为M,N关于直线yxm对称,所以kMN1,所以y03x0又因为y0x0m,所以P(,),代入抛物线方程得m218
8、·(),解得m0或8,经检验都符合故填0或8点拨:处理中点弦问题常用的求解方法:点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解设抛物线过定点A(1,0),且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x平分,设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm,试求实数m的取值范围解:(1)设抛物线顶点为P(x,y),则焦点F
9、(2x1,y)再根据抛物线的定义得|AF|2,即(2x)2y24,所以轨迹C的方程为x21(x1)(2)依题意知k0,设弦MN的中点为P(,y0),M(xM,yM),N(xN,yN),则由点M,N为椭圆C上的点,可知两式相减,得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0,将xMxN2×()1,yMyN2y0,(k0)代入上式得k又点P(,y0)在弦MN的垂直平分线上,所以y0km所以my0ky0由点P(,y0)在线段BB上(B,B为直线x与椭圆的交点,如图所示),所以yBy0yB,即y0所以m,又k0,则y0 2k0,从而有m0故m的取值范围为(,0)(0,)类型二定点问题
10、()设O为坐标原点,动点M在椭圆C:y21上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x3上,且·1证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),(xx0,y),(0,y0)由,得x0x,y0y因为M(x0,y0)在C上,所以y1,所以 1因此点P的轨迹方程为x2y22(2)证明:易知F(1,0)设Q(3,t),P(m,n),则(3,t),(1m,n),·33mtn,(m,n),(3m,tn)由·1,得3mm2tnn21又由(1)知m2n22,故33mtn0所以
11、183;0,即又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F点拨:根据已知条件建立方程;通过假设相关点的坐标,利用函数与方程思想及点的坐标关系,按照“设而不求”的原则计算或化简已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为,求证:直线AB过x轴上一定点解:(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),所以1,所以p2,所以抛物线C的方程为y24x(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A(,t),B(,t),t0因为直线OA,OB的斜率之积为,
12、所以·,化简得t232,则t4,所以A(8,4),B(8,4),此时直线AB的方程为x8当直线AB的斜率存在时,设其方程为ykxb(k0),A(xA,yA),B(xB,yB),联立化简得ky24y4b0,根据根与系数的关系得yAyB因为直线OA,OB的斜率之积为,所以·,即xAxB2yAyB0,即·2yAyB0,解得yAyB0(舍去)或yAyB32,所以yAyB32,即b8k,所以ykx8k,即yk(x8)综上所述,直线AB过x轴上一定点(8,0)类型三定值问题已知椭圆C:1(ab0)过点T(,),且半焦距c(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,已知D,A(2,1
13、),过点B(3,0)的直线l与椭圆相交于P,Q两点,直线AP,AQ与x轴分别相交于M,N两点,试问|DM|·|DN|是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由解:(1)方法一:设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(,0),F2(,0),由椭圆的定义可得2a2,解得a,所以b2a2c2633,所以椭圆C的标准方程为1方法二:因为c,所以a2b23,又椭圆1(ab0)过点T,所以1,故1,化简得2b43b290,得b23,所以a26,所以椭圆C的标准方程为1(2)设直线l的方程为xmy3,P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线AP的斜率不存在时,易知直线BP与椭圆
14、C相切,不符合题意,同理可得直线AQ的斜率存在,故直线AP的方程为y1(x2),则M,即M,同理N由得(2m2)y26my30,由36m212(2m2)0得m21,又y1y2,y1y2,所以|DM|·|DN|,故|DM|·|DN|为定值,且|DM|·|DN|点拨:求解此类问题的方法一般有两种:从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算()已知椭圆C:1(a>b>
15、0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N求证:|AN|·|BM|为定值解:(1)由题意得解得a2,b1所以椭圆C的方程为y21(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1),设P(x0,y0),则x4y4当x00时,直线PA的方程为y(x2)令x0,得yM,从而|BM|1yM|直线PB的方程为yx1令y0,得xN,从而|AN|2xN|所以|AN|·|BM|·4当x00时,y01,|BM|2,|AN|2,所以|AN|·|BM|
16、4综上,|AN|·|BM|为定值类型四与弦有关的范围与最值问题已知椭圆C1:1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作垂直于x轴的直线l1,直线l2与l1垂直,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)过点F2作两条互相垂直的直线AC、BD,且分别交椭圆于A、B、C、D四点,求四边形ABCD面积的最小值解:(1)连接MF2,由题意知|MP|MF2|,所以点M到定直线l1:x2的距离等于它到定点F2(2,0)的距离,所以点M的轨迹C2是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以点M的轨迹C2的方程为y28x(2)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线
17、AC的斜率为k,A(x1,y1),C(x2,y2),则直线BD的斜率为,直线AC的方程为yk(x2),联立得(2k21)x28k2x8k280所以x1x2,x1x2|AC|·同理可得|BD|因为ACBD,所以四边形ABCD的面积S |AC|·|BD|由于(k22)(2k21)22,所以S,当且仅当k222k21,即k±1时,取等号易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的面积S8综上知,四边形ABCD面积的最小值为点拨:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022 届高三 数学 一轮 复习 原卷版 直线 圆锥曲线 位置 关系
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内