2022届高三数学一轮复习(原卷版)第十章 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-教师版.docx
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1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同(×)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()(5)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()作业检查无第2课时阶段训练题型一分类加法计数原理的
2、应用例1高三一班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高三二班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高三三班有学生55人,其中男生35人,女生20人(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?解(1)完成这件事有三类方法:第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法;第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有506055165(种)不同的选法(2)完成这件事有三类方法
3、:第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法;第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种选法根据分类加法计数原理,共有30302080(种)不同的选法思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数若m4,则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个 C14个 D12个答案
4、C解析第一位为0,最后一位为1,中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110;只有2个1相邻时,共A个,其中110100,110010,110001,101100不符合题意;三个1都不在一起时有C个,共28414(个)题型二分步乘法计数原理的应用例2(1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有_种不同的报名方法答案(1)B(2)120解析(1)从E点到F点的最短路径有6种,从F
5、点到G点的最短路径有3种,所以从E点到G点的最短路径为6×318(种),故选B.(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4120(种)引申探究1本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36729(种)2本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人
6、至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63216(种)思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成(1)已知集合M1,2,3,N4,5,6,7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐
7、标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A12 B8 C6 D4(2)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有_种答案(1)C(2)4554解析(1)分两步:第一步先确定横坐标,有3种情况,第二步再确定纵坐标,有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×26个,故选C.(2)五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性题
8、型三两个计数原理的综合应用例3(1)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有_种不同的涂色方法(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_答案(1)260(2)36解析(1)区域A有5处涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法所以共有5×4×45
9、15;4×3×3260(种)涂色方法(2)第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面均成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×1224(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色
10、,则不同的涂色种数有_答案96解析按区域1与3是否同色分类:(1)区域1与3同色:先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色,共有4A24(种)方法(2)区域1与3不同色:先涂区域1与3有A种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法这时共有A×2×1×372(种)方法故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为247296.第3课时阶段重难点梳理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理异同点分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方
11、法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nm×n种不同的方法区别各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才能做完这件事重点题型训练典例(1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有()A24种 B4种 C43种 D34种(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4次,轮船有3次,问此人的走法可有_种错解展示解析(1)因为每个信箱有三种投信方法,共4个信箱,所以共有3
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