第2讲 非线性规划优秀PPT.ppt
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1、第2讲 非线性规划1现在学习的是第1页,共43页*非线性规划的基本解法非线性规划的基本解法非线性规划的基本概念非线性规划的基本概念非线性规划非线性规划 返回返回2现在学习的是第2页,共43页 定义定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题非线性规划问题非现性规划的基本概念非现性规划的基本概念 一般形式一般形式:(1)其中 ,是定义在 En 上的实值函数,简记:其它情况其它情况:求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式3现在学习的是第3页,共43页 定义定义1 1 把满足问题(1)中条件的解 称为可行解可行解(
2、或可行(或可行点点),),所有可行点的集合称为可行集可行集(或(或可行域可行域)记为D即 问题(1)可简记为 定义定义2 2 对于问题(1),设 ,若存在 ,使得对一切 ,且 ,都有 ,则称X*是f(X)在D上的局部极小值点局部极小值点(局部最优解局部最优解)特别地当 时,若 ,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点严格局部极小值点(严格局部最优解严格局部最优解)定义定义3 3 对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点全局极小值点(全局最优解全局最优解)特别地当 时,若 ,则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点严格全局极小值点(严格全局最优解严格全
3、局最优解)返回返回4现在学习的是第4页,共43页非线性规划的基本解法非线性规划的基本解法SUTM外点法外点法SUTM内点法(障碍罚函数法)内点法(障碍罚函数法)1、罚函数法、罚函数法2、近似规划法近似规划法 返回返回5现在学习的是第5页,共43页 罚函数法罚函数法 罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题,进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约序列无约束最小化方法束最小化方法简称为SUMTSUMT法法 其一为SUMTSUMT外点法外点法,其二为SUMTSUMT内点法内点法6现在学习的是第6页,共43页 其中T(X,M)称为罚函数罚函数,M称为罚因
4、子罚因子,带M的项称为罚项罚项,这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 时,满足各 ,故罚项=0,不受惩罚当 时,必有 的约束条件,故罚项0,要受惩罚SUTMSUTM外点法外点法7现在学习的是第7页,共43页 罚函数法的缺点缺点是:每个近似最优解Xk往往不是容许解,而只能近似满足约束,在实际问题中这种结果可能不能使用;在解一系列无约束问题中,计算量太大,特别是随着Mk的增大,可能导致错误1、任意给定初始点X0,取M11,给定允许误差 ,令k=1;2、求无约束极值问题 的最优解,设为Xk=X(Mk),即 ;3、若存在 ,使 ,则取MkM()令k=k+1返回(2),否则,停止迭代得最优解
5、.计算时也可将收敛性判别准则 改为 .SUTM SUTM外点法外点法(罚函数法)的迭代步骤迭代步骤8现在学习的是第8页,共43页SUTMSUTM内点法(内点法(障碍函数法)9现在学习的是第9页,共43页 内点法的迭代步骤内点法的迭代步骤10现在学习的是第10页,共43页 近似规划法的基本思想近似规划法的基本思想:将问题(3)中的目标函数 和约束条件 近似为线性函数,并对变量的取值范围加以限制,从而得到一个近似线性规划问题,再用单纯形法求解之,把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似近似规划法近似规划法每得到一个近似解后,都从这点出发,重复以上步骤 这样,通过求解一系列线性规划问题,产生一个
6、由线性规划最优解组成的序列,经验表明,这样的序列往往收敛于非线性规划问题的解。11现在学习的是第11页,共43页 近似规划法的算法步骤如下算法步骤如下12现在学习的是第12页,共43页 返回返回13现在学习的是第13页,共43页用MATLAB软件求解,其输入格式输入格式如下:1.x=quadprog(H,C,A,b);2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VL
7、B,VUB,X0,options);6.x,fval=quaprog(.);7.x,fval,exitflag=quaprog(.);8.x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1、二次规划、二次规划14现在学习的是第14页,共43页例例1 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t.x1+x22 -x1+2x22 x10,x20 MATLAB(youh1)1、写成标准形式写成标准形式:2、输入命令输入命令:H=2*1-1;-1 2;c=-2;-6;A=1 1;-1 2;b=2;2;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB
8、=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果运算结果为:x=0.8000 1.2000 z=-7.2000s.t.15现在学习的是第15页,共43页 1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F(X):function f=fun(X);f=F(X);2、一般非线性规划、一般非线性规划 其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题,基本步骤分三步:16现在学习的是第16页,共43页3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下:(
9、1)x=fmincon(fun,X0,A,b)(2)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)(3)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)(4)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options)(6)x,fval=fmincon(.)(7)x,fval,exitflag=fmincon(.)(8)x,fval,exitflag,output=fmincon(.)输出极值点M文件迭代的初值参数说
10、明变量上下限17现在学习的是第17页,共43页注意:注意:1 fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为on),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。18现在学习的是第18页,共43页1、写成标准形式写成标准形式:s.t.2x1+3x2
11、 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例219现在学习的是第19页,共43页2、先建立先建立M-文件文件 fun3.m:function f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2MATLAB(youh2)3、再建立主程序youh2.m:x0=1;1;A=2 3;1 4;b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为:运算结果为:x=0.7647 1.0588 fval=-2.029420现在学习的是第20页,共43页1
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