二分图的对集.ppt
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1、二分图的对集 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 设二分图为 ,本节求饱和 中每个点的对集的一个充分必要条件,这是Hall在1935年给出的,称为Hall定理。定义定义5.3.1 中 的邻域 ,即与 中顶点相邻的所有顶点全体。例 定理定理5.3.1 设 是二分图,则G有饱和X的每个顶点的对集的充分必要条件是对所有 ,均有与与Hall定理等价的有相异代表元定理定理等价的有相异代表元定理:集合 的一个子集簇 有一个相异代表元当且仅当对于集合 的所有子集 ,
2、有 定理定理5.3.1的证明:的证明:必要性必要性:假设 是二分图 的一个饱和 中每个顶点的一个对集,对 中的任一个子集 则在 中有 个顶点 在 下分别与 配对,因此有 充分性:充分性:假设 满足条件,是 的一个最大对集。下证 饱和 中所有点。反证法。假设 是一个非饱和点。令记 为 中在 下与 配对的顶点集合。下证 ,其中 。否则,设 ,记 ,使 ,则 。下分两种情况讨论:情况情况1:是 非饱和点 因 ,可以证明图 中存在 可扩路,矛盾。情况情况2:是 饱和点 则存在 使 。可以证明 从而得到 ,矛盾。推论推论5.3.25.3.2 二分图 有完美对集的充分必要条件是 ,并且对一切 ,均有 推论
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