以2l为周期的函数的展开式.ppt
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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 以2l为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2 为周期,或定义在上然后作2 周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设设 f 是以是以2l为周期的函数为周期的函数,用变量替换用变量替换 就可以将就可以将 f 变换成以变换成以 为周期的关于变量为周期的关于变量 t 的函的函 数数 若若在在上可上可积积,则则在在 也可也可积
2、积,这时这时函数函数F的傅里叶的傅里叶级级数展开式是数展开式是:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中(2)(2)因因为为,所以所以于是由于是由(1)与与 (2)式分别得式分别得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与与这里这里(4)式是以式是以2l 为周期的函数为周期的函数 f 的傅里叶系数的傅里叶系数,(3)式是式是 f 的傅里叶级数的傅里叶级数.若函数若函数 f 在在上按段光滑上按段光滑,则则同同样样可由收可由收敛敛定理定理 知道知道 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 将函数将函数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.解解 由于由于 f 在
3、在-5,5)上按段光滑上按段光滑,由此可以展开成傅里由此可以展开成傅里 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页叶级数叶级数.根据根据(4)式式,有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页代入代入(5)式式,得得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这这里里 当当和和5时级时级数收数收敛敛于于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的的偶函数偶函数,则则在在上上,是偶函数是偶函数,是奇函数是奇函数.因此因此,f 的傅里叶系数的傅里叶系数(4)是是 设设 f 是以是以 2l 为周期的偶函数为周期的偶函数,或是定义在或是定义在
4、上上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即即其中如其中如(6)式所示式所示(7)式右边的级数称为余弦级数式右边的级数称为余弦级数.同理同理,若若 f 是以是以 2l 为周期的奇函数为周期的奇函数,或是定义在或是定义在 上的奇函数上的奇函数,类类似可推得似可推得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以当所以当 f 是奇函数时是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦它的傅里叶级数只含有正弦 函数的项函数的项,即即 其中其中如如(8)式所示式所示.(9)式右式右边边的的级级数称数称为为正弦正弦级级 数数
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- 关 键 词:
- 周期 函数 展开式
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