《数学教材》PPT课件.ppt
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1、RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE MATRICE INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNEELEMENTO GENERICO i=1,2,M(righe);j=1,2,N (colonne).MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N SCALAREVETTORE COLONNAVETTORE RIGA1SE M=N UNA MATRICE QUADRATA:LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA DATA DAL
2、LA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI.LA MATRICE DIAGONALE UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:2LA MATRICE IDENTIT UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI:OPERAZIONI CON LE MATRICIUGUAGLIANZASESOMMA DEFINITA SE SONO DELLO STESSO ORDI
3、NE E+=3=ESEMPIOPRODOTTO SCALARESE K UNO SCALARE,ALLORAESEMPIO=4PRODOTTO TRA MATRICICON ELEMENTOESEMPIO:ESEMPIO NUMERICO:(3*2)(2*2)(2*3)(3*2)(3*2)(2*2)ATTENZIONE5TRASPOSIZIONELA TRASPOSTA DELLA MATRICE ESEMPIOTEOREMI6MATRICE SIMMETRICASE UNA MATRICE QUADRATA EDALLORA UNA MATRICE SIMMETRICA.FORME QUAD
4、RATICHESE UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M,UN VETTORE DI ORDINE M*1,IL PRODOTTOPRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA.ESEMPIO:7SE:POSITIVA DEFINITA POSITIVA SEMIDEFINITA NEGATIVA DEFINITA NEGATIVA SEMIDEFINITADETERMINANTEAD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE,INDICATO GENER
5、ICAMENTE,CALCOLATO CON CERTE REGOLE RIPORTATE NEL PROSEGUIO.SELA MATRICE NON SINGOLAREE SE LA MATRICE SINGOLAREMETODO DI CALCOLOIN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA.SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFAT
6、TORE .8IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE:SE 2*2,CIO:SE LA MATRICE 3*3,CIO:MA9TEOREMISE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ;SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ;SE OGNI ELEMENTO IN MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE,ANCHESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE;SE IN OGNI RIGA/COL
7、ONNA OGNI ELEMENTO SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UNALTRA RIGA/COLONNA,NON CAMBIA.10INVERSIONE DI UNA MATRICELINVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTIT,CIO:IN ALTRI TERMINI,LINVERSA DI SE E SOLO SE:E CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCH PO
8、SSEGGA LINVERSA CHE ,CIO SE NON SINGOLARE.PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON )CHE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI,CIO:11LINVERSA DI SI OTTIENE DA:ESEMPIO:QUINDI:12ESEMPIO NUMERICODERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALESE UNO SCALARE ED UN VETTORE COLONNALA DERIVATA P
9、RIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI DEFINITA DA:13VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE-SE UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI -SE UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE14-SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI 15IL MO
10、DELLO DI REGRESSIONE MULTIPLA IN FORMA MATRICIALEIL MODELLOPU ESSERE VISTO ANCHE COME:SEVETTORECOLONNA(N*1)16MATRICE(N*K)VETTORE VETTORECOLONNA COLONNA(K*1)(N*1)IL MODELLO DIVIENE:17 (N*1)(N*K)(K*1)(N*1)LA MATRICE HA ELEMENTO GENERICO IN CUI LINDICE j RAPPRESENTA LA VARIABILE(REGRESSORE)CONSIDERATA(
11、j=1,2,K)MENTRE LINDICE i DENOTA LA i-ESIMA OSSERVAZIONE(i=1,2,N).OGNI COLONNA DI UN VETTORE DI N OSSERVAZIONI E AD OGNI OSSERVAZIONE ASSOCIATA UNINTERCETTA UGUALE AD 1.COSTANTE PER REGRESSORI jINTERCETTA 1 2 K OSSERVAZIONI i 1 2 N18ASSUNZIONI PER STIME OLS1.FORMA LINEARE DI TIPO 2.SONO NON STOCASTIC
12、I ED HANNO VARIANZA FINITA.IL RANGO DI UGUALE A KN3.SONO DISTRIBUITI NORMALMENTE ED HANNO CON MATRICE IDENTIT(N*N).LA 2.,RANK=KN,ASSICURA LASSENZA DI MULTICOLLINEARIT.SE INFATTI RANK K QUESTO VORREBBE DIRE CHE UNA DELLE COLONNE DI SAREBBE COMBINAZIONE LINEARE DELLE ALTRE E QUINDI CI SAREBBE MULTICOL
13、LINEARIT.LA 3.,OLTRE ALLASSUNZIONE DI NORMALIT PER GLI ERRORI CASUALI,GARANTISCE CHE GLI STESSI ABBIANO MEDIA NULLA,VARIANZA FINITA E COSTANTE E COVARIANZA NULLA.INFATTI ESAMINIAMO LA MATRICE DI VARIANZA E COVARIANZA DERIVANTE DA 19SE ALLORA TUTTI I VALORI AL DI FUORI DELLA DIAGONALE PRINCIPALE SONO
14、 NULLI E QUELLI SULLA DIAGONALE SONO UGUALI A ,CIO:020STIMA OLSSI DEVE TROVARE IL VETTORE CHE MINIMIZZA LA QUANTITDOVE:VETTORE(N*1)DEI RESIDUI VETTORE(N*1)DEI VALORI TEORICI VETTORE DELLE STIME OLSSOSTITUENDO E IN SI HA:AB21QUESTO PERCH A E B SONO ENTRAMBI DUE SCALARI UGUALI.INFATTIA =SCALARE (1*K)(
15、K*N)(N*1)B ANALOGAMENTE AD A UNO SCALARE MINIMIZZANDO LA ,CIO:SI HA:LA MATRICE DETTA MATRICE“CROSS-PRODUCT”,HA CERTAMENTE LINVERSA PERCH E QUINDI NON SINGOLARE.22DIMENSIONI DELLE MATRICI MATRICE“CROSS-PRODUCT”=(K*N)(N*K)23VETTORE24 PRODOTTOCONSIDERIAMO ANCORA:DERIVANDO PER MINIMIZZARE SI HA:25DIVIDE
16、NDO LA PRIMA EQUAZIONE PER N SI HA:SOSTITUENDO NELLE ALTRE EQUAZIONI SI OTTIENE:CON:LA NOTAZIONE MATRICIALESE SI ELIMINA STIMATO COME NELLA ,DIVIENE:26DOVE:DA TALI ULTIME RELAZIONI FACILE RISALIRE AI RISULTATI OTTENUTI PER K=2(MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE),K=3,GI VISTI IN PRECEDENZA.27DALLE RELAZ
17、IONI MATRICIALI VISTE SEGUONO DUE RISULTATI UTILI PER SUCCESSIVI SVILUPPI:1)PERCH2)PERCH:COME GI VISTOE PERCH:COME GI VISTOIL RISULTATO 1)CI DICE CHE IL PRODOTTO INCROCIATO TRA I REGRESSORI E GLI ERRORI NULLO.CI LA TRADUZIONE CAMPIONARIA DELLA ASSUNZIONE ,IN ALTRE PAROLE CHE I RESIDUI NON DEVONO DIP
18、ENDERE DAI REGRESSORI.28PROPRIET DEGLI STIMATORI OLS CON ALLORA:0 VETTORE DI STIMATORI CORRETTISI CONSIDERI LA RELAZIONE ,ESSA RAPPRESENTA LA REGRESSIONE DI ,CIO IL VETTORE INCOGNITO DI DISTURBI,SUI REGRESSORI ALLORA SE LOMISSIONE DI REGRESSORI UN FATTO CASUALE,INDIPENDENTE DA ED HA MEDIA ZERO,LE ST
19、IME DEI PARAMETRI SARANNO CENTRATE.29VARIANZA DEGLI STIMATORIPERCH GLI ELEMENTI DI A SONO FISSI.POI:30PERTANTO:VEDIAMO SE TALE VARIANZA MINIMA.RICORDANDO CHE ,CONSIDERIAMO LA MATRICE ARBITRARIA E LO STIMATORE LINEARE .ALLORA:LA MEDIA DI :CHE RISULTA UGUALE A SE E SOLO SECALCOLIAMO ORA:QUESTO PERCH31
20、PERTANTO:MA =0 =AFFINCHPERTANTO:SI PU DIMOSTRARE CHE LA MATRICE POSITIVA SEMIDEFINITA.PERTANTO SE LA FORMA QUADRATICA AD ESSA ASSOCIATA POSITIVA,ALLORA .QUANDO TALE FORMA QUADRATICA NULLA,ALLORA TUTTI GLI ELEMENTI DI SONO ZERO E PERTANTO .QUINDI BLUE32STIMA DI PER ESTENSIONE DAL MODELLO CON DUE REGR
21、ESSORI(K=3),UNO STIMATORE CORRETTO DELLA VARIANZA FORNITO DA:SEGUE CHE:UNO STIMATORE CORRETTO DI .SEMPRE PER ESTENSIONE DAL MODELLO CON DUE REGRESSORI,SI HA:ELEMENTI DIAGONALI DELLA MATRICE“CROSS-PRODUCT”SEGUE CHE:33CHE CONSENTE DI VERIFICARE IPOTESI TIPO RESPINTA SE E DI COSTRUIRE INTERVALLI DI CON
22、FIDENZA I CUI ESTREMI SONO FORNITI DA:SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA ED .SI SUPPONGA CHE Y ABBIA MEDIA NULLA,ALLORA IN NOTAZIONE MATRICIALE:QUINDI =0 CIO SE:DEVIANZA TOTALE DEVIANZA DOVUTA AL MODELLO DEVIANZA DOVUTA AL RESIDUO34MOSTRA LA SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA TOTALE NELLE SUE COMPONENTI.IL COEF
23、FICIENTE DI DETERMINAZIONE SI DEFINISCE,COME SI SOLITI FARE,COME:SE LA MEDIA DI Y 0,DEVE ESSERE DEFINITO INTRODUCENDO LA VARIABILE SCARTODA CUI SEGUE:PER CUI:SE SI VUOLE IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE CORRETTO SI DEFINISCE:35MULTICOLLINEARITUNA DELLE ASSUNZIONI DEL MODELLO LINEARE CLASSICO POSTUL
24、A CHE NESSUN REGRESSORE SIA PERFETTAMENTE CORRELATO CON UN ALTRO REGRESSORE O CON NESSUNA COMBINAZIONE LINEARE DI ALTRI REGRESSORI.SE TALE ASSUNZIONE VIOLATA SI PARLA DI PRESENZA DI MULTICOLLINEARIT.ALLORA SE LASSUNZIONE RISPETTATA SI IN CONDIZIONI DI ASSENZA DI MULTICOLLINEARIT.EVIDENTEMENTE TRA QU
25、ESTI DUE CASI ESTREMI SI POSSONO TROVARE SITUAZIONI DI VARI GRADI DI MULTICOLLINEARIT A SECONDA DELLINTENSIT DEI LEGAMI LINEARI TRA I REGRESSORI.IMPORTANTE CHIARIRE SUBITO CHE LA MULTICOLLINERIT NON TANTO UN PROBLEMA DI SPECIE QUANTO DI GRADO.INFATTI BEN DIFFICILE INCORRERE IN PRATICA NEI CASI ESTRE
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