D104对面积曲面积分.ppt
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1、第四节第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分对面积的曲面积分 第十章第十章 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想,采用采用可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极求极限限”的方法的方法,量量M.其中其中,表示表示n小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者最大者).
2、).求质求质 定义定义:设设 为光滑曲面为光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限”都存在都存在,的的曲面积分曲面积分其中其中f(x,y,z)叫做叫做被积被积据此定义据此定义,曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为f(x,y,z)是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点,则称此极限为函数则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数,叫做叫做积分曲面积分曲面.则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性对积分域的可加性
3、.则有则有 线性性质线性性质.在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续,对对面积面积的曲面积分与对的曲面积分与对弧长弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似.积分的存在性积分的存在性.若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成例如分成两片光滑曲面两片光滑曲面定理定理:设有光滑曲面设有光滑曲面f(x,y,z)在在 上连续上连续,存在存在,且有且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明:由定义知由定义知而而(光滑光滑)说明说明:可有类似的公式可有类似的公式.1)如果曲面方程为如果曲面方程为2)若曲面为参数方程若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下只要求出在参
4、数意义下dS 的表达式的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分的二重积分.(见本节后面的例见本节后面的例4,例例5)例例1.计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是球面是球面被平面被平面截出的顶部截出的顶部.解解:思考思考:若若 是球面是球面被平行平面被平行平面z=h截截出的上下两部分出的上下两部分,则则例例2.2.计算计算其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设设上的部分上的部分,则则与与 原式原式=分别表示分别表示 在平面在平面 例例3.设设计算计算解解:锥面锥面与上半球面与上半球面交线为交线为为上
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- 关 键 词:
- D104 面积 曲面 积分
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