《微分学几何应用》PPT课件.ppt
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1、 定义定义:设设M0是空间曲线是空间曲线L上的一个定点上的一个定点,M是是L上上的一个动点的一个动点,当当M沿曲线沿曲线L趋于趋于M0时时,割线割线M0M的极的极限位置限位置MT0(如果极限存在如果极限存在)称为称为曲线曲线L在在M0处的切线处的切线.下面导出空间曲线的切线方程下面导出空间曲线的切线方程.8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面 1.空间曲线方程为参数方程的情形空间曲线方程为参数方程的情形:(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.且导数不同时为零且导数不同时为零.L:(1)设设M0(x0,y0,zo)对
2、应参数对应参数 t=t0,M(x0+x,y0+y,zo+z)对应参数对应参数 t=t0+t.则割线则割线M0M的方程为的方程为:考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程:上式分母同除以上式分母同除以 t,得得 当当MM0,即即 t 0时时,曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程为为:切向量切向量(切线的方向向量切线的方向向量)为为 法平面法平面(过过M0点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面)的方程为的方程为:故故,切线方程为切线方程为:法平面方程为法平面方程为:解解:当当t=0时对应曲线时对应曲线 上的点的坐标为上的点的坐标为M0(0,1,2),而而则切向量为则切向
3、量为:例例1:求曲线求曲线 在在t=0处的切线处的切线 和法平面方程和法平面方程.即即在在M0(x0,y0,zo)处处,取取x为参数为参数,则则 切向量为切向量为:的情形的情形:2.空间曲线方程为空间曲线方程为 法平面方程为法平面方程为:切线方程为切线方程为:3.空间曲线方程为空间曲线方程为 的情形的情形:切线方程为切线方程为:法平面方程为法平面方程为:例例2:求曲线求曲线 在点在点(1,2,1)处的切处的切 线及法平面方程线及法平面方程.解一解一:直接利用公式直接利用公式.解二解二:在所给方程的两边对在所给方程的两边对x求导并移项求导并移项,得得 解得解得 在点在点(1,-2,1)处处 由此
4、得切向量为由此得切向量为:所求切线方程为所求切线方程为:法平面方程为法平面方程为:即即二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 1.曲面曲面 的的方程为一般方程方程为一般方程F(x,y,z)=0的情形的情形:在曲面上任取一条通过点在曲面上任取一条通过点M(x0,y0,z0)的曲线的曲线对应对应M有有 t=t0.曲线曲线 在在M处的切向量为处的切向量为:令令又因为又因为 为曲面为曲面 上的曲线上的曲线,故有故有 F(t),(t),(t)0上式在上式在t=t0 处对处对 t 求导得求导得,Fx(x0,y0,z0)(t0)+Fy(x0,y0,z0)(t0)+Fz(x0,y0,z0)(t0)=0
5、切平面切平面的方程为的方程为:Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(yy0)=0 曲线曲线 在点在点M处的切向量满足处的切向量满足:由曲线由曲线 在在 曲面曲面 上的任意性知上的任意性知,上过点上过点M的任意曲线的切线都的任意曲线的切线都垂直于同一向量垂直于同一向量 因此因此,所有这些切线都在同一平面所有这些切线都在同一平面上上.且这张平面的法向量为且这张平面的法向量为 ,并称并称 为曲面为曲面 的的在在点点M处的处的法向量法向量;称这张平面为曲面称这张平面为曲面 在在点点M处的处的切平面切平面.通过点通过点M(x0,y0,z0)而垂
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