圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案.docx
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1、解直1. (2012江苏镇江6分)如图,AB是O的直径,DFAB于点D,交弦AC于点E,FC=FE。 (1)求证:FC是O的切线;(2)若O的半径为5,求弦AC的长。【答案】解:(1)连接OC, FC=FE,FCE=FEC(等边对等角)。 OA=OC,OAC=OCA(等边对等角)。 又FEC=AED(对项角相等), FCE=AED(等量代换)。又DFAB,OACAED=900(直角三角形两锐角互余)。OCAFCE =900(等量代换),即OCF =900。OCCF(垂直定义)。又OC是O的半径,FC是O的切线(切线的定义)。(2)连接BC。 AB是O的直径,ACB=900(直径所对圆周角是直角
2、)。 OB=OC。OBC=OCB(等边对等角)。 OCB=ACBACO=900ACO=OCFACO=FCE, OBC=FCE。 又,。 又O的半径为5,AB=10。 在RtABC中, 【考点】等腰三角形的性质,对项角的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数定义,勾股定理。【分析】(1)要证FC是O的切线,只要FC垂直于过C点的半径,所以作辅助线OC。由已知条件,根据等腰三角形的等边对等角性质,直角三角形两锐角互余的关系,经过等量代换即可得到。 (2)构造直角三角形ABC,由等量代换得到OBC=FCE,从而得到,应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。2 (
3、2012四川巴中10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的O经过点D,E是O上一点,且AED=45。(1)判断CD及O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为6cm,AE=10cm,求ADE的正弦值。【答案】解:(1)连接BD,OD,AB是直径,ADB=90。ABD=E=45,DAB=45,则AD=BD。ABD是等腰直角三角形。ODAB。又DCAB,ODDC, CD及O相切。(2)过点O作OFAE,连接OE,则AF=AE=10=5。OA=OE,AOF=AOE。ADE=AOE,ADE=AOF。在RtAOF中,sinAOF=,sinADE= sinAOF =。3(2012福建福州1
4、2分)如图,AB为O的直径,C为O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交O于点E(1) 求证:AC平分DAB;(2) 若B60,CD2,求AE的长【答案】解:(1) 证明:如图,连接OC, CD为O的切线, OCCD。 OCD90。 ADCD, ADC90。 OCDADC180。 ADOC。 CADACO。 OAOC, ACOCAO。 CADCAO,即AC平分DAB。(2) AB为O的直径, ACB90又 B60,CADCAB30。在RtACD中,CD2, AC2CD4。在RtABC中,AC4, AB8。连接OE, EAO2CAB60,OAOE, AOE是等边三角形。 AEOAA
5、B4。【考点】切线的性质,平行的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的判定和性质。【分析】(1) 连接OC,由CD为O的切线,根据切线的性质得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可得出OC平行于AD,根据两直线平行内错角相等可得出CADACO,再由OAOC,利用等边对等角得到ACOCAO,等量代换可得出CADCAO,即AC为角平分线。(2)由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出ACB为直角,在RtABC中,由B的度数求出CAB的度数为30,可得出CAD的度数为30。在RtACD中,根据
6、30角所对的直角边等于斜边的一半,由CD的长求出AC的长,在RtABC中,根据cos30及AC的长,利用锐角三角函数定义求出AB的长,从而得出半径OE的长,由EAO为60,及OEOA,得到AEO为等边三角形,可得出AEOAOE,即可确定出AE的长。相似及圆1 (2012广西北海10分)如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且及O的切线CD互相垂直,垂足为D。(1)求证:EACCAB;(2)若CD4,AD8:求O的半径;求tanBAE的值。【答案】(1)证明:连接OC。CD是O的切线,CDOC。又CDAE,OCAE。13。OCOA,23。12,即EACCAB。(2)解:连接BC。AB是O的直径,
7、CDAE于点D,ACBADC90。12,ACDABC。AC2AD2CD2428280,AB10。O的半径为1025。连接CF及BF。四边形ABCF是O的内接四边形,ABCAFC180。DFCAFC180,DFCABC。2ABC90, DFCDCF90,2DCF。12,1DCF。CDFCDF,DCFDAC。DF2。AFADDF826。AB是O的直径,BFA90。BF8。tanBAD。【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。【分析】(1)连接OC,由CD是O的切线,CDOC,又由CDAE,即可判定OCAE,根据平行线的
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