2022年矩阵知识点.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载矩阵定义由 m n 个数a iji1,2,m j1,2, n 排成的m行n列的数表a 11a 12m na1 na 21a22a2 n称为a 11a m 1a m2amna 12a 1nm 行 n 列矩阵;简称 m n 矩阵,记作AA m na ija ij,a 21a 22a 2n,简记为Aa m 1a m 1amn这m n 个数称为A 的元素 简称为元 ;几种特殊的矩阵:方阵:行数与列数都等于 n 的矩阵 A; 记作: An;行 列矩阵: 只有一行 列的矩阵;也称行 列向量;同型矩阵: 两矩阵的行数相等,列数也相等;相等矩
2、阵: AB 同型 ,且对应元素相等;记作:AB零矩阵: 元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)对角阵: 不在主对角线上的元素都是零;单位阵: 主对角线上元素都是 1,其它元素都是 0,记作: En不引起混淆时,也可表示为 E 3 正交矩阵T定义 6: A 是一个 n 阶实矩阵,如 A A E,就称 A 为正交矩阵;定理: 设 A、B 都是 n 阶正交矩阵,就1 A 1 或 A 11 T2 A A1 T3 A 即 A 也是正交矩阵4 AB 也是正交矩阵;定理: n 阶实矩阵 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组为单位正交向量组;注: n 个 n 维向量,如长度为 1,且两两正交,批评以它们为列(
3、行)向量构成的矩阵肯定是正交矩阵;留意 矩阵与行列式有本质的区分,行列式是一个算式,一个数字行列式经过运算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同;1、上述形如1、512128、23m、23m1这样的矩形数表叫做矩阵 ;3638363243242323212841n41n4名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备,a n欢迎下载b 12、在矩阵中, 水平方向排列的数组成的向量a a 2称为 行向量 ;垂直方向排列的数组成的向量b 2b n称为 列向量 ;由 m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为
4、mn 阶矩阵 , mn阶矩阵可记做A m n,如矩阵1为 2 1阶矩阵,可记做A 2 1;矩阵512128363836为 3 3 阶矩阵,可记做A 3 3;有时矩阵也3232128可用 A 、 B 等字母表示;3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的 元素 ,在一个 m n 阶矩阵 A m n 中的第 i ( i m )行第 j ( j n )列51 21 28数可用字母 ija 表示,如矩阵 36 38 36 第 3 行第 2 个数为 a 32 21;23 21 280 0 04、当一个矩阵中全部元素均为 0 时,我们称这个矩阵为 零矩阵 ;如 为一个 2 3阶零矩阵;0 0 05、当一个矩阵的行数与
5、列数相等时,这个矩阵称为 方矩阵 ,简称 方阵 ,一个方阵有 n 行(列),可称此方51 21 28 2 3 m阵为 n 阶方阵 ,如矩阵 36 38 36、3 2 4 均为三阶方阵;在一个 n 阶方阵中,从左上角23 21 28 4 1 n到右下角全部元素组成对角线,假如其对角线的元素均为 1,其余元素均为零的方阵,叫做 单位矩阵 ;1 0 01 0如矩阵 为 2 阶单位矩阵,矩阵 0 1 0 为 3 阶单位矩阵;0 10 0 16、假如矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等,那么 A与 B 叫做 同阶矩阵 ;假如矩阵 A 与矩阵 B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么
6、矩阵A与矩阵 B 叫做 相等的矩阵 ,记为 AB ;矩阵的运算名师归纳总结 矩阵的加法设有两个 m n矩阵Aa ij和Bb ij,那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB ,规定为第 2 页,共 10 页a 11b 11a 12b 12a 1nb 1nABa 21b 21a 22b 22a 2nb 2na m1b m 1a m2b m 2a mnb mn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;(课本 P33)- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载矩阵加法的运算规律1 ABBA;a 1 n,A 称为矩阵 A的 负矩阵2ABCABCa
7、11a 123设矩阵Aa ijm n,记Aa ijm na 21a 22a 2na m 1a m 1a mn规定为4AA0,ABAB ;A 或A数与矩阵相乘(矩阵的数量乘法)数 与矩阵 的乘积记作a 11a 12a 1n数 与矩阵 的乘积记作A 或A,规定为AAa 21a 22a 2na m 1a m 1a mn数乘矩阵的运算规律(设A、B为 m n矩阵,为数)1AA ;2AAA;3ABAB ;矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算;矩阵与矩阵相乘设Bb ij是一个m s矩阵,Bb 是一个s n矩阵, 那么规定矩阵A 与矩阵 B 的名师归纳总结 b 1ja bi ssk j,乘 积 是 一 个
8、 m n 矩 阵Cc ij, 其 中a ai2ai sb 2ja b1ja b2js ja bb sjabk1xi1,2,m j1,2,n ,并把此乘积记作CAB行矩阵 a11a12与列矩阵b11的乘法规章为a11a12b11a11b11a12b21,二阶矩阵与列矩阵b21b21cdy的乘法规章为abxaxby.矩阵乘法满意结合律,不满意交换律和消去律cdycxdy第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 规章: A m * s * B i * n = cm * n 学习必备欢迎下载行 1 * 列 1 行 2 * 列 2 行 1 * 列
9、 2 第 1 行乘以第 1 列、第 1 行乘以第 2 列,如此类推矩阵乘法的运算规律1AB CA BC;C ABACA2ABA BAB3 A BCABAC , B4A m nE n nE m mA m nA m n矩阵的幂乘:如 A 是 n 阶方阵,就称 A k 为 A 的 k 次幂,即 A kA A A,k 个并且 A A m kA m k,A m kA mkm k为正整数;规定: A 0 E 留意 矩阵不满意交换律,即 AB BA ,AB kA B (但也有例外)k k转置矩阵 把 矩 阵 A 的 行 换 成 同 序 数 的 列 得 到 的 新 矩 阵 , 叫 做 A 的 转 置 矩 阵
10、, 记 作 A , 如1 41 2 2 TA,A 2 5;4 5 82 8转置矩阵的运算性质1ATTA ;叫做方阵 A 的行列式, 记作 A 或 det A(记住这2ABTT AT B ;3ATT A ;4ABTT TB A ;方阵的行列式由 n 阶方阵 A的元素所构成的行列式,个符号 )留意名师归纳总结 方阵:行数与列数都等于n 的矩阵 A; 记作: An;n 阶行列式就是这些数按第 4 页,共 10 页矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n 2 个数按肯定方式排成的数表,而- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载肯定的运算法就所
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