2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题一、解答题 1已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点(1)求证:O到直线AB的距离为定值(2)求0AB面积的最大值2已知直线l的方程为x2,且直线l与x轴交于点M,圆O:与x轴交于A,B两点(如图)(1)过M点的直线l1交圆于P、Q两点,且O点到直线l1的距离为,求直线l1的方程;(2)求以l为准线,中心在原点,且短轴长为圆O的半径的椭圆方程;(3)过M点的圆的切线l2,交(2)中的一个椭圆于C、D两点,其中C、D两点在x轴上方,求线段CD的长3已知椭圆.(1)直线过点与椭圆交于两点,若,求直线的方程;
2、(2)在圆上取一点,过点作圆的切线与椭圆交于两点,求的值.4已知分别是椭圆的左,右焦点,过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,点在椭圆上,且当直线垂直于轴时,.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在实数t,使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,说明理由5设椭圆C:1(ab0)的一个顶点与抛物线C:x24y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得2若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MNAB,求证:为定值6已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,
3、线段的中点为(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且证明:,成等差数列,并求该数列的公差7已知椭圆,离心率,点在椭圆上(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点P是椭圆C上一点,左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:为定值8已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线于E、两点,当点P在椭圆C上运动时,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.9如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在轴下方),且线
4、段AB的中点E在直线上.(1)求直线AB的方程;(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OMON为定值.10已知椭圆过点,且离心率为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设直线与椭圆E交于A,C两点,以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x轴的交点为N,求证:为定值.11已知椭圆:()经过与两点.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线与椭圆交于、两点,椭圆上一点满足.求证:为定值.12已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在
5、,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.13已知椭圆:在右、上顶点分别为、,是椭圆的左焦点,是椭圆上的点,且(是坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相切于点(在第二象限),过作直线的平行线与直线相交于点,问:线段的长是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.14已知点F1为椭圆1(ab0)的左焦点,在椭圆上,PF1x轴.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线l:ykx+m与椭圆交于(1,2),B两点,O为坐标原点,且OAOB,O到直线l的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.15已知椭圆C:()的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,O为原点,点P为椭圆C上不同于A
6、、B的任一点,若直线PA与PB的斜率之积为,且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若P点不在坐标轴上,直线PA,PB交y轴于M,N两点,若直线OT与过点M,N的圆G相切.切点为T,问切线长是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由.16已知椭圆的离心率为,且过点(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且,D为垂足,问是否存在定点Q,使得为定值,若存在,求出Q点,若不存在,请说明理由第15讲 长度定值问题一、解答题 1已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点(1)求证:O到直线AB的距离为定值(2)求0AB面积的最大值【答案】(1)见解析;(2)【分析】(
7、1)设A(x1,y1),B(x2,y2),若k存在,则设直线AB:ykx+m,联立椭圆方程,由OAOB,得x1x2+y1y20,化简整理,再由点到直线的距离,即可得到定值;若AB的斜率不存在时,显然成立;(2)运用弦长公式,化简整理,再由基本不等式,即可得到最大值,当斜率不存在时,经检验|AB|2也成立即可【详解】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),若AB的斜率k存在,则设直线AB:ykx+m由,得(1+3k2)x2+6kmx+3m230,则x1+x2,由OAOB,得x1x2+y1y2x1x2+(kx1+m)(kx2+m)(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m20,将代入,得4m
8、23k2+3,即有m2(k2+1),则有原点到直线AB的距离d,当AB的斜率不存在时,|x1|y1|,可得|x1|d,依然成立所以点O到直线AB的距离为定值(2)|AB|2(1+k2)(x1x2)2(1+k2)()243+ 当且仅当9k2,即k时等号成立当AB的斜率不存在时,经检验|AB|2所以SOAB,即有OAB面积的最大值为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用,属于中档题2已知直线l的方程为x2,且直线l与x轴交于点M,圆O:与x轴交于A,B两点(如图)(1)过M点的直线l1交圆于P、Q两点,且O点到
9、直线l1的距离为,求直线l1的方程;(2)求以l为准线,中心在原点,且短轴长为圆O的半径的椭圆方程;(3)过M点的圆的切线l2,交(2)中的一个椭圆于C、D两点,其中C、D两点在x轴上方,求线段CD的长【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)可设直线l1的方程为yk(x+2),由点到直线的距离公式可得k的方程,解方程可得;(2)设椭圆的方程为1(ab0),易得a1或b1,分别可得b和a值,可得方程;(3)可设直线l2的方程为y(x+2)和椭圆联立可得5x2+8x+20,由弦长公式可得【详解】(1)点到直线的距离为.设的方程为,.的方程为. (2)设椭圆方程为,半焦距为,则.,.所求
10、椭圆方程为. (3)设切点为,则由题意得,椭圆方程为,在中,则,的方程为,代入椭圆中,整理得. 设,则,.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用3已知椭圆.(1)直线过点与椭圆交于两点,若,求直线的方程;(2)在圆上取一点,过点作圆的切线与椭圆交于两点,求的值.【答案】(1);(2)2.【分析】(1)利用点差法解决中
11、点弦问题中求直线方程;(2)分类讨论切线斜率不存在与存在,利用两向量垂直其向量的数量积为零,可证明,进而在中,由与相似,得求得答案.【详解】解:(1)设,即,解得.两点在椭圆上,两式相减,得,则,故直线的方程为,即.(2)当切线斜率不存在时,不妨设的方程为,由椭圆的方程可知,则,即.当切线斜率存在时,可设的方程为,即,联立和椭圆的方程,得,则,.综上所述,圆上任意一点处的切线交椭圆于点,都有.在中,由与相似,得.【点睛】本题考查椭圆中利用点差法解决中点弦问题,还考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题,属于较难题.4已知分别是椭圆的左,右焦点,过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,点在椭圆上,且当
12、直线垂直于轴时,.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在实数t,使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,说明理由【答案】(1);(2)存在;.【分析】(1)根据题意得到关于的方程组,求解出的值,则椭圆方程可求;(2)根据条件可得,当直线的斜率不存在时,直接计算即可;当直线的斜率存在时,设,联立直线与椭圆方程,根据韦达定理形式表示出,由此确定出是否存在满足条件.【详解】解:(1)由题意可得,解得.故椭圆C的标准方程为.(2)由(1)可知.当直线l的斜率不存在时,则.当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则直线l的方程为.联立,整理得,则,从而故由题意可得.则.因为,所以.综上,存在实数,使得恒成
13、立.【点睛】易错点睛:利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点:(1)假设直线方程的时候,要注意分析直线的斜率是否存在;(2)利用公式或不仅可以求解弦长,同时还可以求解两点之间的距离.5设椭圆C:1(ab0)的一个顶点与抛物线C:x24y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得2若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MNAB,求证:为定值【答案】(1)(2)或(3)定值【分析】(1)根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点,结合离心率,即可求出椭圆的
14、标准方程(2)由题可知,椭圆的右焦点为(1,0),直线l与椭圆必相交分两种情况讨论:当直线斜率不存在时,经检验不合题意;设存在直线l为yk(x1)(k0),与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合向量条件,即可求得直线l的方程;(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),求出|MN|与|AB|的长,从而可证结论【详解】(1)抛物线的焦点为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合椭圆的一个顶点为,即,a2,椭圆的标准方程为(2)由题可知,椭圆的右焦点为(1,0),直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时,M(1,),N(1,),不合题意设存在直线l为yk(x1)(k0),且M(
15、x1,y1),N(x2,y2)由得(3+4k2)x28k2x+4k2120, 所以,故直线l的方程为或 (3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)由(2)可得:|MN|由消去y,并整理得:,|AB|,为定值【点睛】本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查向量知识的运用,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化6已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且证明:,成等差数列,并求该数列的公差【答案】(1)(2)或【详解】分析:(1)设而不求,利用点差法进行证明(2)解出m,进而求出点P
16、的坐标,得到,再由两点间距离公式表示出,得到直的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解详解:(1)设,则.两式相减,并由得.由题设知,于是.由题设得,故.(2)由题意得,设,则.由(1)及题设得.又点P在C上,所以,从而,.于是.同理.所以.故,即成等差数列.设该数列的公差为d,则.将代入得.所以l的方程为,代入C的方程,并整理得.故,代入解得.所以该数列的公差为或.点睛:本题主要考查直线与椭圆的位置关系,等差数列的性质,第一问利用点差法,设而不求可减小计算量,第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键,考查了函数与方程的思想,考察学生的计算能力,难度较大7已知椭圆,离心率,点在椭圆上(1
17、)求椭圆C的标准方程;(2)设点P是椭圆C上一点,左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:为定值【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)根据椭圆的离心率,点在椭圆上,结合性质 ,列出关于 、 、的方程组,求出 、 、,即可得椭圆C的标准方程;(2)设 ,根据三点共线斜率相等,可分别求出 的坐标,利用两点间的距离公式可将用 表示,结合点在椭圆上消去 即可得结果.试题解析:(1)依题意得,设,则,由点在椭圆上,有,解得,则,椭圆C的方程为: 设,则,由APM三点共线,则有,即,解得,则, 由BPN三点共线,有,即,解得,则= 又点P在椭圆上,满足
18、,有,代入上式得=, 可知为定值【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线的斜率公式以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种: 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关; 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.8已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线于E、两点,当点P在椭圆C上运动时,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1
19、);(2)为定值1【分析】(1) 由题意可知,结合,可求出椭圆方程.(2) 设,则直线AP的方程为,求出,同理得出,将点在椭圆上这个条件代入,可得到答案.【详解】(1)由题意可知又因为且,解得,所以椭圆C的方程为;(2)为定值1.由题意可得:,设,由题意可得:,所以直线AP的方程为,令,则,即;同理:直线BP的方程为,令,则,即;所以而,即,代入上式得,所以为定值1.【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题,考查运算能力,属于难题.9如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在轴下方),且线段AB的中点E在直线上.(1)求直线AB的方程;(2)若点P为椭
20、圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OMON为定值.【答案】(1)(2)详见解析【解析】试题分析:(1)两点确定一条直线,所以只需再确定A点坐标即可,这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得:A(,),从而根据两点式求出直线AB的方程为(2)本题涉及的条件为坐标,所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法:由A,P,M三点共线,又点M在直线y=x上,解得M点的横坐标,由B,P,N三点共线,点N在直线y=x上,解得N点的横坐标所以OMON=2=,又,所以OMON=试题解析:解:(1)设点E(m,m),由B(0,2)得A(2m,2m+2)代入椭圆方程得,即,
21、解得或(舍) 3分所以A(,),故直线AB的方程为 6分(2)设,则,即设,由A,P,M三点共线,即,又点M在直线y=x上,解得M点的横坐标, 9分设,由B,P,N三点共线,即,点N在直线y=x上,解得N点的横坐标 12分所以OMON=2= 16分考点:直线与椭圆位置关系10已知椭圆过点,且离心率为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设直线与椭圆E交于A,C两点,以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x轴的交点为N,求证:为定值.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由题意可知, ,即可求得的值,求得椭圆方程; (2)将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求得,及 ,由此即
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