2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题一、解答题 1已知分别为椭圆:()的左、右焦点, 且离心率为,点椭圆上(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,使直线与的倾斜角互补,且直线是否恒过定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由.2椭圆上顶点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且焦距为,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)直线交椭圆于,两点,判断是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由3已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为()求椭圆的标准方程;()是否存在与椭圆交于两点的直线:,
2、使得成立?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.4已知为椭圆C的左、右焦点,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过的直线交椭圆C于A,B两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.5(本小题共13分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A,B()求圆Q的面积;()求k的取值范围;()是否存在常数k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由6已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,长轴长为,离心率为,经过
3、其左焦点的直线交椭圆于两点(I)求椭圆的方程;(II)在轴上是否存在一点,使得恒为常数?若存在,求出点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.7已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(),且点F(,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8(本小题12分)已知如图,圆和抛物线,圆的切线与抛物线交于不同的点,.(1)当直线的斜率为时,求线段的长;(2)设点和点关于直线对称,问是否存在圆的切线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.9已知曲线,动直线与相交于两点,曲线在处的
4、切线相交于点(1)当时,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;(2)若直线与相切于点,试问:在轴上是否存在两个定点,当直线斜率存在时,两直线的斜率之积恒为定值?若存在求出满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由10已知椭圆焦点在x轴上,下顶点为D(0,1),且离心率e=63经过点M(1,0)的直线L与椭圆交于A,B两点.()求椭圆的标准方程;()求|AM|的取值范围.()在x轴上是否存在定点P,使MPA=MPB。若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由11已知直线,圆,椭圆的离心率,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程;已知动直线(斜率存在)与椭圆交于两个不同点,且的面积为,若为线
5、段的中点,问:在轴上是否存在两个定点使得直线与的斜率之积为定值?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由12已知椭圆:经过点且离心率为.(1)求椭圆方程;(2)是否存在直线,使椭圆上存在不同两点关于该直线对称?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.13已知椭圆,过右焦点的直线交椭圆于,两点(1)若,求直线的方程;(2)若直线的斜率存在,在线段上是否存在点,使得,若存在,求出的范围,若不存在,请说明理由14已知椭圆:()过点,离心率,直线:与椭圆交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点的坐标和的值;若不存在,请说明理由.15已知圆经过点, ,并且直线平分
6、圆.(1)求圆的方程;(2)若直线与圆交于两点,是否存在直线,使得(为坐标原点),若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.16已知椭圆经过点,是的一个焦点,过点的动直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在定点(异于点),对任意的动直线(斜率存在)都有,若存在求出点的坐标,若不存在,请说明理由.17已知椭圆的离心率为,且过点(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且,D为垂足,问是否存在定点Q,使得为定值,若存在,求出Q点,若不存在,请说明理由18已知点在椭圆上,椭圆离心率为(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、,在轴上是否存在点,使得为定值?若存在,求出点的坐
7、标;若不存在,请说明理由第27讲 探索性问题一、解答题 1已知分别为椭圆:()的左、右焦点, 且离心率为,点椭圆上(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,使直线与的倾斜角互补,且直线是否恒过定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)过定点【解析】试题分析:(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:
8、求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.试题解析:(1)由题意得,联立得椭圆方程为 6分(2)由题意,知直线存在斜率,其方程为由 消去 =(4km)24(2k2+1)(2m22)0 设 则 8分又 由已知直线与的倾斜角互补,得 化简,得 整理得 10分直线的方程为, 因此直线过定点,该定点的坐标为(2,0) 12分考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的综合应用.2椭圆上顶点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且焦距为,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)直线交椭圆于,两点,判断是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存
9、在,请说明理由【答案】(1)(2)存在,【分析】(1)根据椭圆的焦距为,离心率为,解得:,故椭圆的标准方程为;(2)设直线的方程为,代入到得,设,由韦达定理得:,因为,可得:代入整理可得,解得:,即可求出直线方程.【详解】(1)设椭圆的标准方程为,焦距为2,故又, 故椭圆的标准方程为 (2)设,为的垂心, 设直线的方程为,代入到得,解得且 , ,即由根与系数的关系,得解得或(舍去) 故存在直线,使点恰为的垂心,且直线的方程为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和椭圆的关系,常用方法为:设而不求利用韦达定理求出根与系数关系,结合条件即可得解.要求较高的计算能力,属于难题.3已知椭圆的中心
10、在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为()求椭圆的标准方程;()是否存在与椭圆交于两点的直线:,使得成立?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(),().【解析】试题分析:(1)由已知条件可推得,由此能求出椭圆的标准方程;(2)存在直线使得成立,直线方程与椭圆的方程联立,由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件,得出,即可求解实数的取值范围试题解析:(1)设椭圆的方程为(),半焦距为依题意,由右焦点到右顶点的距离为,得解得,所以所以椭圆的标准方程是(2)解:存在直线,使得成立理由如下:由得,化简得设,则,若成立,即,等价于所以,,化简得,将代入中,解得,又由
11、,从而,或所以实数的取值范围是考点:椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置的应用【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用,其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题,此类问题的解答中,把直线的方程与圆锥曲线方程联立,利用方程的根与系数的关系,以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键,着重考查了学生推理与运算能力,同时注意试题中的隐含条件,做到合理加以运用,属于中档试题4已知为椭圆C的左、右焦点,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过的直线交椭圆C于A,B两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由
12、.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)设椭圆的方程为,由,利用已知条件能求出,由此能求出椭圆的方程;(2)设直线,由,得,利用韦达定理推导出当不存在时圆面积最大,此时直线方程为试题解析:(1)由已知,可设椭圆的方程为.因为,所以.所以椭圆的方程为.(2)当直线斜率存在时,设直线的方程为,由得.设,则,所以.设内切圆半径为,因为的周长为(定值),所以当的面积最大时,内切圆面积最大.又,令,则,所以,又当k不存在时,此时,故当k不存在时内切圆面积最大,此时直线方程为.考点:(1)椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆的综合.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法,根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程
13、,得解;考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断,用到不太常用的三角形内切圆半径公式:,故可得当三角形周长固定时,三角形面积越大内切圆面积越大,解题时要认真审题,注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用,计算难度较大,属于难题.5(本小题共13分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A,B()求圆Q的面积;()求k的取值范围;()是否存在常数k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由【答案】(1)4. (2)(-34,0)(3)没有符合题意的常数k【解析】解:()圆的方程可
14、化为(x-6)2+y2=4,可得圆心为Q(6,0),半径为2,故圆的面积为4 -3分()设直线l的方程为y=kx+2法一:将直线方程代入圆方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0 -4分直线与圆交于两个不同的点A,B等价于=4(k-3)2-436(1+k2)=42(-8k2-6k)0, -6分解得-34k0,即k的取值范围为(-34,0) -8分法二:直线l与圆(x-6)2+y2=4交于两个不同的点A,B等价于|kx-y+2|k2+10,解得-34k0,即k的取值范围为(-34,0) -8分()设A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+
15、OB=(x1+x2,y1+y2),由方程,x1+x2=-4(k-3)1+k2又y1+y2=k(x1+x2)+4 -10分而P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2)所以OA+OB与PQ共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2)-11分将代入上式,解得k=-34 -12分6已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,长轴长为,离心率为,经过其左焦点的直线交椭圆于两点(I)求椭圆的方程;(II)在轴上是否存在一点,使得恒为常数?若存在,求出点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.【答案】(I);(II)见详解.【分析】(I)根据,和已知即可求解;(II)联立直线与椭圆方程,消去根据韦达定理代入数
16、量积即可求解.【详解】(I)设椭圆的方程为,由题意,得,解得,所以 所求的椭圆方程为 .(II)由(I)知. 假设在轴上存在一点,使得恒为常数,当直线与轴不垂直时,设其方程为,、.由得,所以, .因为是与无关的常数,从而有,即 此时 当直线与轴垂直时,此时点的坐标分别为,当时,亦有 综上,在轴上存在定点,使得恒为常数,且这个常数为.【点睛】本题考查椭圆方程及椭圆与直线的应用.此题的难点是计算.7已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(),且点F(,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说
17、明理由.【答案】(1)(2)不存在【分析】(1)根据焦点及椭圆定义,即可求得参数c与a,从而求得椭圆的方程(2)根据点到直线距离,可得m与k的等量关系式;联立方程,由判别式可得k的取值范围,进而结合向量的数量积求得斜率,判断是否存在【详解】(1)设椭圆C的方程为,则左焦点为,在直角三角形中,可求,故椭圆C的方程为(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为,由原点到l的距离为得: 联立方程,得则, 设,则,解得 当斜率不存在时,l的方程为,易求得综上,不存在符合条件的直线 【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用,直线与椭圆的关系,是高考的常考点,属于难题8(本小题12分)已知如图,圆和抛物线,圆的切
18、线与抛物线交于不同的点,.(1)当直线的斜率为时,求线段的长;(2)设点和点关于直线对称,问是否存在圆的切线使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【解析】试题分析:(1)圆的圆心坐标为,半径,设,设的方程,利用直线是圆的切线,求得的值,从而可得直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理,即可计算弦长;(2)利用直线是圆的切线,可得,满足的一个方程,将直线的方程与抛物线方程联立,利用,可得,满足的另一个方程,联立方程组可求得,的值,从而得到满足题设的直线.试题解析:圆:,圆心坐标为,半径,(1)当直线的斜率为时,设的方程为,即,直线是圆的切线,解得或(
19、舍),此时直线的方程为,由,消去得,设,则,得,弦长;(2)直线是圆的切线,得,由,消去得,即,且,点和点关于直线对称,点为,即,即,+,得,解得或,当时,代入解得,满足条件,当时,代入得,无解,综上所述,存在满足条件的直线,其方程为. 考点:1.直线与抛物线的位置关系;2.弦长的计算;3.韦达定理的运用.9已知曲线,动直线与相交于两点,曲线在处的切线相交于点(1)当时,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;(2)若直线与相切于点,试问:在轴上是否存在两个定点,当直线斜率存在时,两直线的斜率之积恒为定值?若存在求出满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由【答案】(1);(2)存在两个定点恒满足.
20、【解析】试题分析:(1)设出直线方程,联立其与抛物线方程得到两点坐标的关系,再由导数的几何意义,直线的斜率就是它们分别在两点处切线的斜率,且,可求得;(2)利用两点坐标表示出直线,的方程,观察可得直线的方程,利用与圆相切整理即得动点的轨迹方程,问题得解.试题解析:(1)依题意,直线的斜率存在,设,由得则,又由得, 的方程为,恒过定点(2)设,直线,即又经过,即,同理,由此可得切线的方程为由直线与圆相切得,化简得,从而动点的轨迹方程为,为焦点在轴上的双曲线取,则为定值故存在两个定点满足恒为定值考点:直线与圆、直线与抛物线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系及函数与方
21、程思想的应用,综合性较强,属于难题.解答本题的技巧在于,通过导数的几何意义得到两条切线斜率之间的关系,由直线与抛物线方程构成的方程组得到两切点坐标的关系,二者本质上是统一的,从而得到直线经过的定点;第二问的难点是从第一问出发,写出直线,的方程,观察得到点的轨迹,通过双曲线知识得到答案.10已知椭圆焦点在x轴上,下顶点为D(0,1),且离心率e=63经过点M(1,0)的直线L与椭圆交于A,B两点.()求椭圆的标准方程;()求|AM|的取值范围.()在x轴上是否存在定点P,使MPA=MPB。若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由【答案】() x23+y2=1 () (3,0).【解析】试题分析
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