2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第9讲 蒙日圆问题含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第9讲蒙日圆问题一、解答题 1已知椭圆的一个焦点为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.2给定椭圆C: (ab0),称圆心在原点O,半径为的圆为椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.证明:l1l2,且线段MN的长为定值3给定椭圆 C : ,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(
2、, 0) ,其短轴上的一个端点到 F1 的距离为(1)求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程;(2)若倾斜角 45的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点,且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点,求弦 MN 的的长;(3)点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点,过点 P 作直线 l1、l2,使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点,判断l1、l2的位置关系,并说明理由.4已知抛物线:(),圆:(),抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. (1)求抛物线的方程及其准线方程;(2)如图,点是抛物线在第一象限内一点,过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A,B(A,B异于点P),问是否存在圆使A
3、B恰为其切线?若存在,求出r的值;若不存在,说明理由.5已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,切点分别,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,求的值.6已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点,抛物线的顶点为原点(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,其中A、B为切点设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;若直线AB交椭圆C1于C,D两点,SPAB,SPCD分别是
4、PAB,PCD的面积,试问:是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.7已知椭圆的方程为.(1)设是椭圆上的点,证明:直线与椭圆有且只有一个公共点;(2)过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线,公共点分别记为,点在直线上的射影为点,求点的坐标;(3)互相垂直的两条直线与相交于点,且都与椭圆只有一个公共点,求点的轨迹方程.8已知椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上运动,若面积的最大值为,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作圆:,的两条切线,分别与椭圆交于两点,(异于点),当变化时,直线是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由.9如图,在平面直角坐标系xOy中
5、,已知椭圆C1:y21,椭圆C2:1(ab0),C2与C1的长轴长之比为1,离心率相同(1) 求椭圆C2的标准方程;(2) 设点P为椭圆C2上的一点射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证:为定值;过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证k1k2为定值10已知抛物线上一点到焦点的距离.(1)求抛物线的方程;(2)过点引圆的两条切线,切线与抛物线的另一交点分别为,线段中点的横坐标记为,求的取值范围.11如图,已知是椭圆:上的任一点,从原点向圆:作两条切线,分别交椭圆于点、(1)若直线,的斜率存在,并记为,求证:为定值;(2)试问是否为
6、定值?若是,求出该值;若不是,说明理由12已知抛物线E:过点,过抛物线E上一点作两直线PM,PN与圆C:相切,且分别交抛物线E于M、N两点(1)求抛物线E的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若直线MN的斜率为,求点P的坐标第9讲 蒙日圆问题一、解答题 1已知椭圆的一个焦点为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.【答案】(1);(2).【详解】试题分析:(1)利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出的值,最后根据、三者的关系求出的值,从而确定椭圆的标准方程;(2)分两种情况进行计算:第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在
7、的前提下,设两条切线的斜率分别为、,并由两条切线的垂直关系得到,并设从点所引的直线方程为,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程,利用得到有关的一元二次方程,最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程;第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标,并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上,从而得到点的轨迹方程.(1)由题意知,且有,即,解得,因此椭圆的标准方程为;(2)设从点所引的直线的方程为,即,当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时,分别设为、,则,将直线的方程代入椭圆的方程并化简得,化简得,即,则、是关于的一元二次方程的两根,则,化简得;当从点所引的两条切线均与坐标轴垂
8、直,则的坐标为,此时点也在圆上.综上所述,点的轨迹方程为.考点:本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用.2给定椭圆C: (ab0),称圆心在原点O,半径为的圆为椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.证明:l1l2,且线段MN的长为定值【答案】(1)椭圆方程为,“准圆”方程为x2y24;(2)证明见解析.【分
9、析】(1)由已知,进而可得椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,分别求出l1和l2,验证命题成立;当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),其中,联立过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程,由0化简整理,可证得l1l2;进而得出线段MN为“准圆”x2y24的直径,即线段MN的长为定值【详解】(1)椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为.,椭圆方程为,“准圆”方程为x2y24.(2)证明:当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:x,当l1:x时,l1与“准圆”交于点(,1),(,1),此时l2为y1(
10、或y1),显然直线l1,l2垂直;同理可证当l1:x时,直线l1,l2垂直当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),其中.设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为yt(xx0)y0,由得(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230.由0化简整理,得(3)t22x0y0t10,有(3)t22x0y0t(3)0.设l1,l2的斜率分别为t1,t2,l1,l2与椭圆相切,t1,t2满足上述方程(3)t22x0y0t(3)0,t1t21,即l1,l2垂直综合知,l1l2.l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直线段MN为“准圆”x2y24的直
11、径,|MN|4,线段MN的长为定值【点睛】思路点睛:本题考查椭圆的标准方程,考查新定义,考查椭圆的切线方程,考查直线与椭圆的位置关系,有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下:1.常规求值问题:需要找等式,范围问题需要找不等式;2.是否存在问题:当作存在去求,不存在时会无解;3.证明定值问题:把变动的元素用参数表示出来,然后证明结果与参数无关,也可先猜再证;4.处理定点问题:把方程中参数的同次项集在一起,并令各项系数为,也可先猜再证;5.最值问题:将对象表示为变量的函数求解3给定椭圆 C : ,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ,其短轴
12、上的一个端点到 F1 的距离为(1)求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程;(2)若倾斜角 45的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点,且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点,求弦 MN 的的长;(3)点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点,过点 P 作直线 l1、l2,使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点,判断l1、l2的位置关系,并说明理由.【答案】(1)椭圆方程:;伴随圆方程: x2+ y2= 1 ;(2) 2;(3)垂直,(斜率乘积为 -1 ,分斜率存在与否)【分析】(1)直接由椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F1的距离为,求出,即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程
13、;(2)先把直线方程与椭圆方程联立,利用对应的判别式为0求出,进而求出直线方程以及圆心到直线的距离;即可求弦MN的长;(3)先对直线l1,l2的斜率是否存在分两种情况讨论,然后对每一种情况中的直线l1,l2与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证:l1l2(在斜率存在时,是先设直线方程,把直线与椭圆方程联立,利用斜率为对应方程的根来判断结论)【详解】解:(1)因为,所以b1所以椭圆的方程为,伴随圆的方程为x2+y24(2)设直线l的方程yx+b,由得4x2+6bx+3b230由(6b)216(3b23)0得b24圆心到直线l的距离为所以(3)当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l
14、1与椭圆只有一个公共点,则其方程为或,当l1方程为时,此时l1与伴随圆交于点,此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是y1(或y1),即l2为y1(或y1),显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为时,直线l1,l2垂直当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x02+y024,设经过点P(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为yk(xx0)+y0,由,消去y得到x2+3(kx+(y0kx0)230,即(1+3k2)x2+6k(y0kx0)x+3(y0kx0)230,6k(y0kx0)24(1+3k2)3(y0kx0)230,经过化简得到:(3x02)k2+2x0y0k+1y
15、020,因为x02+y024,所以有(3x02)k2+2x0y0k+(x023)0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足方程(3x02)k2+2x0y0k+(x023)0,因而k1k21,即l1,l2垂直【点睛】本题主要考查椭圆的方程和几何性质,直线的方程,两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力4已知抛物线:(),圆:(),抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. (1)求抛物线的方程及其准线方程;(2)如图,点是抛物线在第一象限内一点,过点P作圆
16、的两条切线分别交抛物线于点A,B(A,B异于点P),问是否存在圆使AB恰为其切线?若存在,求出r的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)的方程为,准线方程为.(2)存在,【分析】(1)由得到p即可;(2)设,利用点斜式得到PA的的方程为,由到PA的距离为半径可得,同理,同理写出直线AB的方程,利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可.【详解】解:(1)由题意得,解得, 所以抛物线的方程为,准线方程为.(2)由(1)知,. 假设存在圆使得AB恰为其切线,设,则直线PA的的方程为,即. 由点到PA的距离为r,得,化简,得,同理,得.所以,是方程的两个不等实根,故,.易得直线AB的方程为,由点到直线
17、AB的距离为r,得,所以,于是,化简,得,即.经分析知,因此.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质,直线与圆、抛物线的位置关系等,考查运算求解能力、数形结合思想.5已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,切点分别,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,即可求出的值【详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点
18、在椭圆上,所以.又因为,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题6已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点,抛物线的顶点为原点(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,其中A、B为切点设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;若直线AB交椭圆C1于C,
19、D两点,SPAB,SPCD分别是PAB,PCD的面积,试问:是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)证明见解析,有,最小值为【分析】(1)利用可得抛物线的标准方程,根据和点在椭圆上列方程组可求得和,从而可得标准方程;(2)利用=0以及韦达定理可得结论;先求出直线过定点,将问题转化为,即求得最小值,当直线的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出和,然后求比值,此时大于,当直线的斜率不存在时,直接求出和可得比值为.从而可得结论.【详解】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1,0),且顶点为原点,所以,所以,所以抛物线的标准
20、方程为,设椭圆方程为,则且,解得,所以椭圆的方程为:.(2)证明:设,过点与抛物线相切的直线为,由,消去得,由=,得,则.设 由得,则,所以直线的方程为,所以,即,即直线恒过定点,设点到直线的距离为,所以,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,由,消去得,时,恒成立, ,由消去得,恒成立,则 .所以,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,所以的最小值为.【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题.7已知椭圆的方程为.(1)设是椭圆上的点,证明:直线与椭圆有且只有一个公
21、共点;(2)过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线,公共点分别记为,点在直线上的射影为点,求点的坐标;(3)互相垂直的两条直线与相交于点,且都与椭圆只有一个公共点,求点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】(1)当时,符合题意;当时,联立直线与椭圆的方程,得判别式为0,从而方程组只有一组解,进而可得答案;(2)设,得出A,B的坐标满足直线方程,推出直线AB的方程为,联立NQ的方程解得Q点坐标;(3)设,分两种情况:当直线与有一条斜率不存在时,当直线与有一条斜率存在时,讨论点P的轨迹,即可得出答案.【详解】(1)当时,直线,即直线,与椭圆只有一个公共点.当时,由得,又,有,
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