2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲 齐次化处理含解析.docx
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1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第23讲 齐次化处理一、解答题 1如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线2已知椭圆C:的焦点是、,且椭圆经过点。(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆右顶点,求证:直线l恒过定点3圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.(1)求的方程;(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.4(2015山西四模)分
2、别过椭圆E:=1(ab0)左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4,且满足k1+k2=k3+k4,已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M、N点坐标,若不存在,说明理由5已知椭圆C:(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.()求C的方程;()设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l
3、过定点.6已知点P是椭圆C:上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1,问:直线l是否过定点?证明你的结论7如图,椭圆经过点,且离心率为(1)求椭圆E的方程;(2)若经过点,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值8已知椭圆方程为,射线(x0)与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于M)(1)求证直线AB的斜率为定值;(2)求AMB面积的最大值9已知椭圆两焦点分别为F1、F2、P是椭圆在第一象
4、限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;(3)求PAB面积的最大值10已知中心在原点的椭圆的一个焦点为,且过点.()求椭圆的方程;()过点作倾斜角互补的两条不同直线,分别交椭圆于另外两点,求证:直线的斜率是定值.11已知椭圆两焦点、在y轴上,短轴长为,离心率为,P是椭圆在第一象限弧上一点,且,过P作关于直线对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值12如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦
5、点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由13如图,椭圆C:(ab0)经过点P(2,3),离心率e=,直线l的方程为y=4()求椭圆C的方程;()AB是经过(0,3)的任一弦(不经过点P)设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3问:是否存在常数,使得?若存在,求的值14在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1(ab0)的右顶点为(2,0),离心率为,P是直线x4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点(1)
6、求椭圆的方程;(2)若P点的坐标为(4,3),求弦AB的长度;(3)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数,使得k1+k3k2?若存在,求出的值;若不存在,说明理由15已知椭圆C:(ab0)的两个焦点分别为F1(,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1k32k2,试求m,n满足的关系式.16已知椭圆C:的两个焦点分别为,点M(1,0)与椭圆短轴的两
7、个端点的连线相互垂直(1)求椭圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点,设点N(3,2),记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2为定值17已知椭圆E:=1(ab0)的焦距为2,且该椭圆经过点()求椭圆E的方程;()经过点P(2,0)分别作斜率为k1,k2的两条直线,两直线分别与椭圆E交于M,N两点,当直线MN与y轴垂直时,求k1k2的值18已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,点A为椭圆的左顶点,点B为上顶点,|AB|且|AF1|+|AF2|4.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点,记AM、AN的斜率分别为k
8、1、k2,若k1+k23,求直线l的方程.19设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程20椭圆:的离心率,长轴端点和短轴端点的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)点是圆上异于点和的任一点,直线与椭圆交于点,直线与椭圆交于点,.设为坐标原点,直线,的斜率分别为,.问:是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,且(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,若,试判断直
9、线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由22已知椭圆,点在椭圆上,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点为椭圆长轴的左端点,为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点,记直线,斜率分别为,若,请判断直线是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.23已知圆,圆过点且与圆相切,设圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程;(2)点,为曲线上的两点(不与点重合),记直线的斜率分别为,若,请判断直线是否过定点. 若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由24在直角坐标系中,椭圆的离心率为,点在椭圆上(1)求椭圆的方程;(2)若斜率存在,纵截距为的直线与椭圆相交于两点,
10、若直线的斜率均存在,求证:直线的斜率依次成等差数列25已知椭圆E:()经过点,离心率为.(1)求E的方程;(2)若点P是椭圆E的左顶点,直线l交E于异于点P的A,B两点,直线和的斜率之积为,求面积的最大值.26已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线斜率之积为,求的最小值.第23讲 齐次化处理一、解答题 1如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线【答案】M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点【解析】试题分析:由OA
11、OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值,由OMAB可用斜率处理,得到M的坐标和A、B坐标的联系,再注意到M在AB上,由以上关系即可得到M点的轨迹方程;此题还可以考虑设出直线AB的方程解决解:如图,点A,B在抛物线y2=4px上,设,OA、OB的斜率分别为kOA、kOB由OAAB,得依点A在AB上,得直线AB方程由OMAB,得直线OM方程设点M(x,y),则x,y满足、两式,将式两边同时乘以,并利用式,可得()+=x2+,整理得由、两式得由式知,yAyB=16p2x2+y24px=0因为A、B是原点以外的两点,所以x0所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点
12、考点:轨迹方程;抛物线的应用2已知椭圆C:的焦点是、,且椭圆经过点。(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆右顶点,求证:直线l恒过定点【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析:(1)设出椭圆方程,由题意可得,再由椭圆的定义可得2a=4,解得a=2,b=1,进而得到椭圆方程;(2)由题意可知,直线l的斜率为0时,不合题意不妨设直线l的方程为x=ky+m,代入椭圆方程,消去x,运用韦达定理和由题意可得MAMB,向量垂直的条件:数量积为0,化简整理,可得或m=2,即可得到定点试题解析:(1)椭圆的方程为 ,所以所求椭圆的方程为 (2)方法一(1)由题意可知,直线
13、的斜率为0时,不合题意.(2)不妨设直线的方程为 由 消去得. 设,则有, 因为以为直径的圆过点,所以由,得将代入上式,得. 将代入,得 ,解得或(舍)综上,直线经过定点 方法二证明:(1) 当不存在时,易得此直线恒过点. (2)当存在时.设直线,.由,可得. . 由题意可知,可得 . 整理得 把代入整理得 由题意可知 解得 (i) 当,直线过定点(2,0)不符合题意,舍掉. (ii) ,即,直线过定点,经检验符合题意.综上所述,直线过定点 考点:1.椭圆方程;2.直线和椭圆相交的综合问题3圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离
14、心率为.(1)求的方程;(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.【答案】(1);(2) ,或.【解析】试题分析:(1)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,由题意知解得,即可求出的方程;(2) 由(1)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.由在上,得,显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点由 得,因由题意知,所以 ,将韦达定理得到的结果代入式整理得,解得或,即可求出直线l的方程.(1)设切点坐标为,则切
15、线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,由题意知解得,故方程为.(2)由(1)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.由在上,得,显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点由 得,又是方程的根,因此 ,由得因由题意知,所以 ,将,代入式整理得,解得或,因此直线l的方程为,或.考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.4(2015山西四模)分别过椭圆E:=1(ab0)左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为
16、k1、k2、k3、k4,且满足k1+k2=k3+k4,已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M、N点坐标,若不存在,说明理由【答案】(1)(2)存在点M,N其坐标分别为(0,1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2【解析】试题分析:(1)由已知条件推导出|AB|=2a=2,|CD|=,由此能求出椭圆E的方程(2)焦点F1、F2坐标分别为(1,0),(1,0),当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(1,0)或(1,0),当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y
17、1),B(x2,y2),由,得,由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M,N其坐标分别为(0,1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2解:(1)当l1与x轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即k3=k4,l2垂直于x轴,得|AB|=2a=2,|CD|=,解得a=,b=,椭圆E的方程为(2)焦点F1、F2坐标分别为(1,0),(1,0),当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(1,0)或(1,0),当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,=,同理k3+k4=,k1+k2=k3+k4,即(m1m2+2)(m2m1)=0,由题
18、意知m1m2,m1m2+2=0,设P(x,y),则,即,x1,由当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(1,0)或(1,0)也满足,点P(x,y)点在椭圆上,存在点M,N其坐标分别为(0,1)、(0,1),使得|PM|+|PN|为定值2考点:直线与圆锥曲线的综合问题5已知椭圆C:(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.()求C的方程;()设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明:l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【详解】试题分析:(1)根据,两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知
19、C经过,两点.另外由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程;(2)先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l:(),将代入,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1x2,进而表示出,根据列出等式表示出和的关系,从而判断出直线恒过定点.试题解析:(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此,解得.故C的方程为.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得
20、A,B的坐标分别为(t,),(t,).则,得,不符合题设.从而可设l:().将代入得由题设可知.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.而.由题设,故.即.解得.当且仅当时,欲使l:,即,所以l过定点(2,)点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.6已知点P是椭圆C:上
21、一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1,问:直线l是否过定点?证明你的结论【答案】(1);(2)直线l过定点证明见解析.【分析】(1)由椭圆定义可知,再代入P即可求出,写出椭圆方程;(2)设直线l的方程,联立椭圆方程,求出和之间的关系,即可求出定点.【详解】(1)由,得,又在椭圆上,代入椭圆方程有,解得,所以椭圆C的标准方程为(2)证明:当直线l的斜率不存在时,解得,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程,由,整理得,由,整理得,即当时,此时,直线l过P点,不符合题意;当
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