2022年空间向量知识点归纳总结3.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点;1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注:(1)向量一般用有向线段表示(2)向量具有平移不变性同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2. 空间向量的运算;R;定义:与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)uuur OBuuur OAuuur ABa rv buuur ; BAuuur OAuuur OBa rr b;uuur OPa r运算律:加法交换律:abba加法结合律:abca bc数乘安排律:abab运算法就:三角形法就、平行四边形法就、平行六
2、面体法就3. 共线向量;(1)假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于 b ,记作 a / b;(2)共线向量定理: 空间任意两个向量 a、b( b 0 ),a/ b 存在实数 ,使 a b ;(3)三点共线: A、B、C 三点共线 AB AC OC x OA y OB 其中 x y 1a(4)与 a 共线的单位向量为 a4. 共面对量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量;说明:空间任意的两向量都是共面的;(2)共面对量定理:假如两个向量 a b r rr r r,x y 使 p xa yb;不共线, pr与向量a b
3、r r共面的条件是存在实数(3)四点共面:如A、B、C、P 四点共面 APxAByACOPxOAyOBz OC其中xyz1 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 空间向量基本定理:假如三个向量 a b c r r r不共面,那么对空间任一向量 pr,存在一个唯独的有序实数组 x y z ,使 p r xa r yb rzc r;如三向量 , , ab c r r r不共面,我们把 , a b c r r, r叫做空间的一个基底,a b cr r r叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推
4、论:设 O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点uuur uuur uuur uuurx y z ,使 OP xOA yOB zOC;6. 空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:P ,都存在唯独的三个有序实数在空间直角坐标系 O xyz 中,对空间任一点 A,存在唯独的有序实数组 , , x y z ,使 OA xi yi zk,有序实数组 , x y z 叫作向量 A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标,记作 A x y z , x叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标;注:点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,
5、y,-z.即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反;在 y 轴上的点设为0,y,0, 在平面 yOz中的点设为 0,y,z(2)如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交基底,r r r用 , , 表示;空间中任一向量 a ix y j z k =(x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律:r r r r如 a a a a 3 ,b , b b b 1 2 3 ,就 a b a 1 b a 1 2 b a 2 3 b 3 ,r r ra b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a a 1 , a 2 , a 3 R ,r ra b a b
6、1 1 a b 2 2 a b 3 3,r ra / b a 1 b a 2 b a 3 b 3 R ,r ra b a b 1 1 a b 2 a b 3 0;uuur如 A x 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 ;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标; 定 比 分 点 公 式 : 如A x y z 1 1 1,B x 2,y 2,z 2,APPB, 就 点 P 坐 标 为2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - -
7、 - - - - - - - x 1x 2,y 1zy2,z 1z 2;推导:设P(x,y,z)就111xx ,1yy 1,z 1x 2x ,y 2y ,z 2z ,明显,当 P 为 AB 中点时,P x 12 x 2 , y 12 y 2 , z 12 z 2 ABC中, A(x 1 , y 1 , z 1)B x 2 , y 2 , z 2 , C x 3 , y 3 , z 3 ,三角形重心 P 坐标为 P x 1 x3 2 x 3 , y 1 y2 2 y 3 , z 1 z2 2 z 3 ABC的五心:AB AC内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点;AP (单位向量)AB AC外心
8、 P:外接圆的圆心,中垂线的交点;PA PB PC垂心 P:高的交点:PA PB PA PC PB PC(移项,内积为 0,就垂直)重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比)AP 1 AB AC 3中心:正三角形的全部心的合一;r r(4)模长公式:如 a a a a 3 ,b b b b 3 ,r r r 2 2 2 r r r 2 2 2就 | a | a a a 1 a 2 a 3,| b | b b b 1 b 2 b 3(5)夹角公式:cos a b r r| a r a b r r| | b r| a 1 2a a b 1 12 2a a b3 2 2b 1 2 a bb 32 2
9、b 3 2; ABC中 AB . AC 0 A为锐角 AB . AC 0 A为钝角,钝角(6)两点间的距离公式:如 A x 1 , y z ,B x 2 , y 2 , z ,就 | uuurAB | uuurAB 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2,或 d A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 27. 空间向量的数量积;(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a b r r,在空间任取一点 O ,作OA uuura OB r uuurb r, 就 AOB 叫 做 向 量 ar与b r的 夹 角 , 记 作 a b r r; 且 规
10、定0 a b r r,明显有 a b r rb a r r;如 a b r r,就称 ar与 b r 相互垂直,记作:a b r;23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - (2)向量的模: 设 OA uuura r ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 ar的长度或模, 记作: | ar;(3)向量的数量积:已知向量 a b r r,就 | a r | | b r| cos a b r r叫做 a b r r的数量积,记作 a b r r,即 a b r r| | | r b r| cos a b r r;(4)空间向量
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- 2022 空间 向量 知识点 归纳 总结
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