定义1设X是一离散型随机变量其分布列为.ppt
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1、定义1设X是一离散型随机变量其分布列为 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望(1)设二维离散随机变量)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi,yj),则则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下:的数学期望分别定义如下:(2)设二维连续随机变量)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y),则则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下:的数学期望分别定义如下:即:即:假定级数是绝对
2、收敛的假定级数是绝对收敛的.假定积分是绝对收敛的假定积分是绝对收敛的.二、二维随机变量的数学期望二、二维随机变量的数学期望即:即:2则定义随机变量函数则定义随机变量函数的的数学期望数学期望为:为:(1)设)设离散型随机变量离散型随机变量X 的概率分布为:的概率分布为:三三、一维随机变量函数的数学期望、一维随机变量函数的数学期望机变量函数机变量函数的数学期望为:的数学期望为:则定义随则定义随(2)若)若X为连续型随机变量为连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为3(1)设二维离散随机变量)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi,yj),则则随机变量函数随机变量函数g
3、(X,Y)的数学期望如下:的数学期望如下:(2)设二维连续随机变量)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y),则则随机变量随机变量g(X,Y)的数学期望如下:的数学期望如下:假定这个级数是绝对收敛的假定这个级数是绝对收敛的.假定这个积分是绝对收敛的假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望四、二维随机变量的函数的数学期望4五、关于数学期望的定理五、关于数学期望的定理定理定理1 1推论推论(1)(2)(3)定理定理2 2推论:推论:定理定理3 3 若若X、Y 独立,则有独立,则有:推论推论5定义定义 X 的的标准差标准差:定义定义X 的的方差:方差
4、:若若X 为为离散型随机变量离散型随机变量,则有则有若若X 为为连续型随机变量连续型随机变量,则有则有方差的计算公式方差的计算公式:定理定理1 1推论:推论:有关方差的定理:有关方差的定理:六、方差与标准差六、方差与标准差6定理定理2 2:若若X与与Y 独立,独立,推论:推论:七、某些常用分布的数学期望及方差七、某些常用分布的数学期望及方差二项分布:二项分布:0-1分布:分布:几何分布几何分布:均匀分布均匀分布:指数分布指数分布:Poisson分布分布7二维随机变量的方差二维随机变量的方差:连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量8随机变量随机变量X 的的 k 阶原点矩:阶原点
5、矩:定义定义1:定义定义2:X 的的k 阶中心矩阶中心矩:对于离散随机变量:对于离散随机变量:对于连续随机变量:对于连续随机变量:对于离散随机变量:对于离散随机变量:对于连续随机变量:对于连续随机变量:其中其中k为正整数。特别的,为正整数。特别的,特别的,特别的,八、原点矩与中心矩八、原点矩与中心矩9 离散型随机变量:离散型随机变量:连续型随机变量:连续型随机变量:1 1、X与与Y 的协方差(或的协方差(或相关矩相关矩):):定义定义注注九、协方差与相关系数九、协方差与相关系数定理定理1 定理定理2 2 若若X与与Y 独立,则:独立,则:注注 设设X与与Y是任两个随机变量,是任两个随机变量,逆
6、命题不成立。逆命题不成立。102 2、X与与Y 的相关系数的相关系数定义定义定理定理3 3且且定理定理4 4定理定理5 5如果如果 X 与与Y 独立,则独立,则反之不成立。反之不成立。即即:X 与与 Y相互相互独立独立X与与 Y 不相关不相关11十十、切比雪夫不等式与大数定律、切比雪夫不等式与大数定律1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 2 2、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律 4 4、伯努利大数定律、伯努利大数定律 3 3、辛钦大数定律、辛钦大数定律若方差一致有上界若方差一致有上界独立同分布独立同分布在独立试验序列中,事件在独立试验序列中,事件 A 的频率按概率收敛于事件的频率按概率收敛
7、于事件 A 的的概率概率.12解解设随机变量设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数表示在取得合格品之前已取得的废品数,则则1 一批零件有一批零件有9个合格品与个合格品与3个废品,安装机器时从中任取一个废品,安装机器时从中任取一个。如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已个。如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差。取出的废品数的数学期望、方差与标准差。(二)作业题略解(二)作业题略解13所以所以X 的概率分布列为的概率分布列为14的次品率为的次品率为p p,求每批产品抽查样品的平均数。求每批产品抽查样品的平均数。都是合格,则也停止检查而认
8、为这批产品合格。设这批产品都是合格,则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品立即停止检查而认为这批产品不合格;若连续检查立即停止检查而认为这批产品不合格;若连续检查5 5个产品个产品2 2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品,则对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品,则设随机变量设随机变量X 表示表示每批产品抽查的样品数每批产品抽查的样品数,则,则:X 的概率分布表如下:的概率分布表如下:解解153 3 设随机变量设随机变量X的概率密度为:的概率密度为:求数学期望求数学期望EX与方差与方差DX.令令解解则则164 4 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为:求数
9、学期望求数学期望EX与方差与方差DX.解解175 5 设随机变量设随机变量X 的概率密度为:的概率密度为:求系数求系数A及及EX与与D X.令令解解18196 方向盘有整分度方向盘有整分度 ,如果计算角度时是把零头数化为最,如果计算角度时是把零头数化为最解解与标准差。与标准差。靠近的整分度计算的,求测量方位角时误差的数学期望靠近的整分度计算的,求测量方位角时误差的数学期望测量方位角时的误差测量方位角时的误差X207 设随机变量设随机变量X 服从二项分布服从二项分布B(3,0.4),(3,0.4),求下列随机变量的数求下列随机变量的数学期望学期望与方差与方差:解解21228 X 的密度函数为:的
10、密度函数为:解解239 对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间 内内,求球体积的数学期望求球体积的数学期望.解解设随机变量设随机变量X,Y 分别表示球的直径和体积,分别表示球的直径和体积,则则而而10 10 证明:若随机变量证明:若随机变量X与与Y 独立,则独立,则 证证右右=24=左左X与与Y 独立,独立,X 2 与与Y 2 独立,独立,右右也可从左往右证也可从左往右证.解解 11 独立,且服从同一分布,数学期望独立,且服从同一分布,数学期望为为随机变量随机变量学期望及方差学期望及方差.方差为方差为求它们的算术平均值求它们的算术平均值的数的数25
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- 定义 离散 随机变量 分布 列为
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