随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第二章习题讲解.docx
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1、2-1随机过程X(t) = Acosot,其中“0为常数,随机变 量A服从标准高斯分布。求t = 0o J /2s 0三个时刻X(t) 的一维概率密度?1 饪解:AN(0,1)fA(a) = -y=e 2X(t)y = AN(0,1)=X(t)y = AN(0,1)=X(t)N(0,_)24X(t)=0,0f (X3;/2o0)= 6 (x3)(离散型随机变量分布律)2-2如图2.23所示,随机过程x仅由四条样本函数组113 1成,出现的概率为图2.23 习题2-2在i和t2两个时刻的分布律如下:2-8平稳过程x(t)的自相关函数为Rx。)= 4e cosTRx。)= 4e cosT+ cos
2、3。-ItRxi(t )=4e 1 cosRx2(t )cos3hx71 T求过程X(t)的均方值和方差?非周期局部 mxi= Rx) = 0周期偶函数 mx2= 099_ R (0) _ m =5X - XX2-10 过程 X= Acost - Bsint 和Y(t) = Bcost + Asint,其中随机变量a,b独立,均值都为0,方差都为5o证明X。)和丫各自平稳且 联合平稳;求两个过程的互相关函数? E【X(t)=0 Rx(t,t + T)= 5cosx E 2(t);= 5=x k】平稳EY(t) = 0 Ry(t,t + t ) = 5cos? E Y2(t) = 5=1j=iJ
3、O0 oO=z z E AAj gexp( - 卜+ j0 jt + 卜) i=1 j=1oO oO+ z z E A2 gexp( /)f EA =0A与凡间应满足条件:卜i,k =1,2,- ,n旧 AAk =0,I wk J2-16平稳过程x(t)的均方可导,Y(t)= x(t)o证明X(t),Y(t)的互相关函数和丫。)的自相关函数分别为/、dRx R /、 c|2Rx RxY(T)= -= - - chu r1 RxyC)= EX(t)Y(t+ )= Ex(t)Li.mX(t +。- XL)1L 20 一=Hm eXX(t +t)-X(t)X(t+)=lim Rx(t)- RxC)
4、= dRx3tdt2Ry(,)= EX(t)Y(t + ) X(t + At)_X(t) J=E Li. mY(t + t )Lyo t.=nm EX(t + M)Y(t +,)-X(t)Y(t +。)】=|jm Rxy, RxyC ) = _ |jm RxyO RxyC A :)A70AtAfdR Q)d2R (T)=怜=dTdT假设X(t)为宽平稳(实)过程,那么 X(t)也是宽平稳(实)过程,且 X(t) 与X(t)联合宽平稳。dR (丁) dR ( .) d R ( T) d2R (T)0Q) = -xyJ,= _x2L:d 2Td(-x )2-17随机过程x(t)的数学期望EX(t)
5、2+ 4,求随机过程Y(t) = tX(t)+t2的期望?EX(t) = tEX(t)=+ + 4 = 2tE Y(t) = 3t22-18 平稳(1 2、过程x(t)的自相关函数Rx (:) = 2exp TI 2求:其导数 Y(t)=X,(t)的自相关函数和方差?X和Y(t)的方差比?-It2=2(1 一 7 2 g 2d2Rx0)Ry(d = - 7d,不含周期分量a 2 = R (。)=2Y Y v 7a (0)=2X X I 1补充题:假设某个噪声电压X(t)是一个各态历经过程,它的一 个样本函数为X(t) = 2cos(t+:)求该噪声的直流分量、交流 平均功率解:直流分量EX(t
6、)、交流平均功率DX(t)各态历经过程可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计包一 -r 1 T .1 Tc Q 7ELX(t).=X(t)=吧在X 出=吧开二 2cos t- dt = 0;I- TRX(T) = X(t)X(t +)= % 斤 JX(t)X(t + T)dt=lim |T 2cos t + 2cos t + t + dt = 2cost 丁廿2丁11 V 4 I 4 J.再利用平稳过程自相关函数的性质D;X(t)= Rx(0)-Rx( )=2方法二:D LX(t)= ELX2(t)-E2LX(t)= X2(t)- X(t)X(t) = 0221 tr 1 t
7、r ,冗X (t)=lim-I X (t)dt = lim-j 2cos t+ dt = 2t* 2T jtts 2T -t L I 4 加2-19随机过程X(t)=Vcos3t,其中V是均值和方1 t差皆为1的随机变量。令随机过程丫=ti0x(九)日 求丫的均值、自相关函数、协方差函数和方差?解:bb1.求均值,利用 EJaX(t)dt = Ja EX(t)dt随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换. 一 1 t1 1 t1 tE Y(t) = E (九)d 九=-10 E X(九)d九= E tV lcos3x d九一t. ttsin3t_ 3t1t12.求自相关函数Y (t) =
8、 ; J。X (九)d九=:变上限积分1R (t,t ) = EY(t )Y(t ) =E :xj)d 九,二/x(九,)d 九Y 1 212 t JO Q / t Jo x m12=,旧x(,)x6)d, d,11t2 .0 P做法二:Y(t) = - L X( )dz = - LV cos3九 d九= 3t t。 t 03tR (t ,t ) _ EY(t )Y(t ) _ EVsin3tiVsin3t2Y 1 212八八3ti 3t2= sm3tisin3t2 ev2 _ 2 sin3tsin3t129tit23.求互协方差函数9tit2X(ti)X(t2)PkM(ht2) 1/81/4
9、 3/8 1/4218二 ki, X( t2)= k2)求 EX(ti), EX(t2), EX(ti)X(t2) ?429EX(ti) = z xkpk(t)= EX(t2)= k=18EX(ti)X(t2) = Rx(ti,t2 )= z z kik pX(ti) ki k2 2r 11CY(ti,t2)= Ry(3 t2) - EY(t1) E Y(t2)=-sin 3tlSin3t2 9tlL24.求方差 D Y (t ) = CY tt, t 方差是关于t的一元函数方法二:D Y(t)= D一V sin 3tlsin2 3tsin2 3tI =D LV J =3t9t29t22-20
10、平稳高斯过程x的自相关函数为sin 冗 tRx=6 丁sin 冗 tRx=6 丁求当t固定时,过程x(t)的四个状态X ,X(t+1),X(t+2),X(t +3)的协方差矩阵?3 3 P夕 2CP1 2c C4 43 444-.3 3*夕3 4L c1 2 3 4c c c c-IL=c分析:高斯过程四个状态的状态 X(t), 2 T 状态 X(t+1),3T 状态 X(t+2),4T 状态 X(t+3)X(t)平稳高斯,协方差阵只与时间差值。有关Cx(0) Cx(1)Cx(1)Cx(2)Cx(3)Cx(0)Cx(1)Cx(2)Cx(2) Cx(3)1 ICx Cx(2)Cx(0)Cx U)
11、Cx(1)Cx(0)j4X4Cik = CxG)=RxG)-mx2解:x(t)平稳高斯,协方差阵只与时间差值 ,有关m 2 _ lim R ( ) _ 0x = x TTT2c _ R (T)_m 2 _ R (Jij - X 1 X . X 、1R (0) 6 R (1) 6e- R (2) 6e XXXCx (0)I Cx (1)Cx(2) ICx (3)Cx (1)Cx (0)Cx(1)Cx (2)Cx (2)Cx(1)Cx( 0)Cx (1)I6Cx (3)1|1ICx(2) 6eCx (0)6e 2lim R (J 0x 1 =TT8i6e 266e 2Rx(0) = 6Rx(1)=
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- 随机 信号 分析 建平 林海 课后 习题 答案 第二 讲解
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