两角和、差的正弦、余弦和正切公式.ppt
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1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式名公式公式两角和与两角和与差的正弦差的正弦两角和与两角和与差的余弦差的余弦两角和与两角和与差的正切差的正切1.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列式子的正误判断下列式子的正误.(.(请在括号内打请在括号内打“”“”或或“”)”)cos15=cos(45-30)=cos45-cos30()cos15=cos(45-30)=cos45-cos30()sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30sin15=sin(45-30)=cos45sin30
2、-sin45cos30 ()()cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45 ()()cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45-sin60-sin60sin45sin45 ()()(2)(2)计算计算sin72cos18+cos72sin18=_.sin72cos18+cos72sin18=_.(3)(3)计算计算cos72cos12+sin72sin12=_.cos72cos12+sin72sin12=_.【解析解析】
3、(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,sin45sin30,故故错误;错误;sin15=sin(45-30)=sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30sin45cos30-cos45sin30,故,故错误错误;正确,正确,cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故故错误错误.(2)(2)原式原式=sin(72+18)=sin90=1.=s
4、in(72+18)=sin90=1.(3)(3)原式原式=cos(72-12)=cos60=.=cos(72-12)=cos60=.答案:答案:(1)(2)1 (3)(1)(2)1 (3)2.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式名公式公式二倍角的正弦二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的余弦二倍角的正切二倍角的正切【即时应用即时应用】(1)(1)思考:二倍角公式思考:二倍角公式tan2=tan2=中对任意的中对任意的都成立都成立吗?吗?提示:提示:不一定不一定,当当k+2k+(kZ)k+2k+(kZ)时,公式成时,公式成立立.(2)sin15cos15(2)sin1
5、5cos15的值等于的值等于_._.【解析解析】sin15cos15=2sin15cos15 sin15cos15=2sin15cos15=sin30=sin30=答案:答案:(3)(3)若若tan=tan=则则tan2=_.tan2=_.【解析解析】答案:答案:热点考向热点考向 1 1 三角函数的化简三角函数的化简【方法点睛方法点睛】三角函数化简的技巧、方法和要求三角函数化简的技巧、方法和要求(1)(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一
6、些非特殊角的三角函数值;殊角的三角函数值;(3)(3)一些常规技巧:一些常规技巧:“1”1”的代换、正切化弦、和积互化、异角的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等化同角等(4)(4)三角函数的化简常用方法是:异名三角函数化为同名三角三角函数的化简常用方法是:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化角的三角函数互化(5)(5)化简要求:化简要求:能求出值的应求出值;能求出值的应求出值;使三角函数种数尽使三角函数种数尽量少;量少;使项数尽量少;使项数尽量少;尽量使分母不含三角函数;尽量使分
7、母不含三角函数;尽量尽量使被开方数不含三角函数使被开方数不含三角函数.【提醒提醒】公式的逆用、变形用十分重要,特别是公式的逆用、变形用十分重要,特别是1+cos2=1+cos2=2cos2cos2 2,1-cos2=2sin,1-cos2=2sin2 2,形式相似,容易出错,应用时要加形式相似,容易出错,应用时要加强强“目标意识目标意识”.【例例1 1】化简下列各式:化简下列各式:【解题指南解题指南】(1)(1)若注意到化简式是开平方根和若注意到化简式是开平方根和22是是的二的二倍,倍,是是 的二倍,以及其范围不难找到解题的突破口;的二倍,以及其范围不难找到解题的突破口;(2)(2)由于分子是
8、一个平方差,分母可通过二倍角公式化简,若由于分子是一个平方差,分母可通过二倍角公式化简,若注意到这两大特征,不难得到解题的切入点注意到这两大特征,不难得到解题的切入点.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为 2,2,所以所以 =|cos|=cos,=|cos|=cos,又因为又因为所以所以所以,原式所以,原式=答案:答案:(1)(2)1(1)(2)1【互动探究互动探究】把本例中的把本例中的(2)(2)改为改为【解析解析】原式原式=答案:答案:【反思反思感悟感悟】1.1.在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于限于22是是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的
9、倍数关系,的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意同时还要注意2,+,-2,+,-三个角的内在联系,三个角的内在联系,cos2=sin(cos2=sin(2)=2sin()cos()2)=2sin()cos()是常用的三角变换是常用的三角变换.2.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次、消化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.3.常用的公式变形:常用的公式变形:【变式备选变式备选】不查表求不查表求sinsin2 220+cos20+cos2 280
10、+sin20cos8080+sin20cos80的值的值.【解析解析】sinsin2 220+cos20+cos2 280+sin20cos8080+sin20cos80=(1=(1cos40)+(1+cos160)+sin20cos80cos40)+(1+cos160)+sin20cos80=1=1 cos40+cos160+sin20cos(60+20)cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1=1 cos40+(cos120cos40 cos40+(cos120cos40sin120sin40)+sin120sin40)+sin20(cos60cos20 sin20(c
11、os60cos20sin60sin20)sin60sin20)热点考向热点考向 2 2 三角函数的求值三角函数的求值【方法点睛方法点睛】三角函数的求值主要有两种类型,即给角求值,三角函数的求值主要有两种类型,即给角求值,给值求值给值求值.(1)(1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相消,从而化为特殊角的三角函数函数相消,从而化为特殊角的三角函数.(2)(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应
12、一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的入,从而达到解题的目的.【例例2 2】若若 的值的值.【解题指南解题指南】本题可以利用本题可以利用 的变换,同时要注意的变换,同时要注意x x的范围和符号,求出的范围和符号,求出sinxsinx和和cosxcosx代入原式求解;也可以化简代入原式求解;也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数,利用原式后得到二倍角与和角的三角函数,利用 的变换,再利用两角差的余弦和二倍角公式求解的变换,再利用两角差的余弦和二倍角公式
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