第七节函数项级数的一致收敛性.doc
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1、第七节 函数项级数的一致收敛性分布图示 引例(讲义例1) 一致收敛的概念 例2 例3 魏尔斯特拉斯判别法 例4 例5一致收敛级数的基本性质 定理2 定理3 定理4幂级数的一致收敛性 定理5 定理6 内容小结 课堂练习 习题127 返回内容要点 一、一致收敛的概念:函数项级数在收敛域上收敛于和,指的是它在上的每一点都收敛,即对任意给定的及收敛域上的每一点,总相应地存在自然数,使得当时,恒有.一般来说,这里的不仅与有关,而且与也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与有关而不依赖于的自然数,则当时,不等式对于区间上每一点都成立,这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数
2、在区间上收敛于和函数, 如果对任意给定的,都存在着一个与无关的自然数N, 使得当时, 对区间I上的一切x恒有,则称该函数项级数在区间I上一致收敛于和,此时也称函数序列在区间I上一致收敛于. 二、定理1(魏尔斯特拉斯判别法)如果函数项级数在区间I上满足条件:(1) (2)正项级数收敛.则该函数项级数在区间I上一致收敛. 三、一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数的各项在区间上都连续,且级数在区间上一致收敛于 则在上也连续.定理 3 设在上连续,且级数在区间上一致收敛于,则存在,且级数在上可以逐项积分,即 (7.2)其中 且上式右端的级数在上也一致收敛.定理4 如果级数在区间上收敛于和, 它的各项
3、都有连续导数,并且级数在上一致收敛,则级数在上也一致收敛,且可逐项求导,即有 (7.3) 四、幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数的收敛半径为 则此级数在内的任一闭区间上一致收敛.定理 6 如果幂级数的收敛半径为则其和函数在内可导,且有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲一致收敛的概念例1(E01)考察函数项级数的和函数的连续性.解 因为该级数每一项都在是连续的,且其部分和故该级数的和函数 易见,和函数在处间断.注:本例表明:即使函数项级数的每一项都在a, b上连续,并且级数在a, b上收敛,但其和函数却不一定在a, b上连续;同样也可举例说明,函数项级数的每
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