高中数学平面向量知识点归纳与常见题型.docx
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1、优质文本平面向量一.向量的根本概念与根本运算1向量的概念:向量:既有大小又有方向的量向量一般用来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:几何表示法 ,;坐标表示法 向量的大小即向量的模长度,记作|即向量的大小,记作 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量这个条件注意与0的区别单位向量:模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量
2、,称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,那么+=1;2向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法那么与“平行四边形法那么:1用平行四边形法那么时,两个向量是要共始点的,和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法那么的特点是“首尾相接,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终
3、点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法那么;当两向量是首尾连接时,用三角形法那么向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加:,但这时必须“首尾相连3向量的减法 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有: i=; (ii) +()=()+=;(iii)假设、是互为相反向量,那么=,=,+=向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:求两个向量差的运算,叫做向量的减法作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量、有共同起点4实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:;当时,的方向与的方向相同
4、;当时,的方向与的方向相反;当时,方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6平面向量的根本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行那么包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐
5、标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的根本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:(1) 假设,那么(2) 假设,那么(3) 假设=(x,y),那么=(x, y)(4) 假设,那么(5) 假设,那么假设,那么3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各
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