线性代数——正交矩阵教案资料.ppt
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1、线性代数正交矩阵二、两组标准正交基间的过渡矩阵二、两组标准正交基间的过渡矩阵 设设 与与 是是 的两组标准的两组标准正交基正交基,令令,由由 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为Q,即即 =Q,则则证明:因为证明:因为 =Q,则则 T=QT T,所以所以 T =QT T Q,又因为又因为 与与 均为标准正交基均为标准正交基,所以所以 T =E,T =E,故故 性质性质(1)n阶矩阵阶矩阵Q 为正交矩阵为正交矩阵(2)Q 为正交矩阵为正交矩阵,则则 也是正交矩阵也是正交矩阵;(3)若若P,Q 都是都是n阶正交矩阵阶正交矩阵,则则PQ 也是也是n阶正交矩阵阶正交矩阵;定义定义2 实数域实数域 R 上的上
2、的 n 阶矩阵阶矩阵 Q 满足满足 称称 Q 为为正交矩阵正交矩阵.则则如果如果 ,则则Q 为正交矩阵为正交矩阵.进而进而,给出等价定义给出等价定义:(4)Q为正交矩阵为正交矩阵,则则 三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质1若若 和和 均是的标准正交基均是的标准正交基,则过渡矩阵则过渡矩阵Q是正交是正交矩阵矩阵.2若若 是标准正交基是标准正交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正交是标准正交基基.3若若 是标准正交基是标准正交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正是标准正交基交基.小结:小结:设设定理定理 设设,则则为正交矩阵为正交矩阵 为为 的一组标准正交基的一组标准正交基.列向
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